Question

14．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，BC=m，CD=n，對角線AC=a，則m，n，a滿足的數量關系是m+n=$\sqrt{2}$a．

Answer 1

分析 如圖，延長CB到M，使得BM=CD，連接AM．由△ABM≌△ADC，推出△MAC是等腰直角三角形，即可解決問題．

解答 解：如圖，延長CB到M，使得BM=CD，連接AM．

∵∠BAD=90°，∠BCD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠ABM=∠D，
在△ABM和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CD}\\{∠ABM=∠D}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADC，
∴AM=AC=a，∠BAM=∠CAD，
∴∠MAC=∠BAD=90°，
∴△MAC是等腰直角三角形，
∴MC=$\sqrt{2}$AM，
∴BM+BC=$\sqrt{2}$AC，
∴m+n=$\sqrt{2}$a．
故答案為m+n=$\sqrt{2}$a．

點評 本題考查全等三角形 的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．