Question

2．已知a²+b²=1，對于滿足條件x+y=1，xy≥0的一切實(shí)數(shù)對（x．y），不等式ay²-xy+bx²≥0（1）恒成立．當(dāng)乘積ab取最小值時(shí)，求a，b的值．

Answer 1

分析 利用特殊值法可得出a、b的范圍，把y=1-x代入不等式，可整理成（1+a+b）x²-（2a+1）x+a≥0，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得到關(guān)于a、b的不等式，可求得ab的最小值，結(jié)合條件a²+b²=1，可得到關(guān)于a、b的方程組，則可求得a、b的值．

解答 解：
∵x+y=1，xy≥0，
∴0≤x≤1，0≤y≤1．
在（1）式中，令x=0，y=1，得a≥0；令x=1，y=0，得b≥0．
將y=1-x代入（1）式，得a（1-x）²-x（1+x）+bx²≥0，即（1+a+b）x²-（2a+1）x+a≥0（2），
∵a²+b²=1，
∴1+a+b＞0，0＜$\frac{2a+1}{2（1+a+b）}$＜1，
∴二次函數(shù)y=（1+a+b）x²-（2a+1）x+a的圖象（拋物線）的開口向上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間．
∵不等式（2）對于滿足條件0≤x≤1的一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴△=（2a+1）²-4（1+a+b）-a≤0，即ab$≥\frac{1}{4}$．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+{b}^{2}=1\\ ab=\frac{1}{4}\end{array}\right.$（3），消去b，得16a⁴-16a²+1=0，解得${a}^{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$或a²=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
∵a≥0，
∴a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$或a=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴方程組（3）的解為$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ b=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}\right.$
∴滿足條件的a，b的值有兩組，分別為a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，b=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$和a=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，b=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到ab≥$\frac{1}{4}$，從而求得ab的最小值是解題的關(guān)鍵．本題綜合性較強(qiáng)，涉及構(gòu)造的思想，難度較大．