Question

13．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AC=BC，∠CAB的平分線AD交BC于點E、交⊙O于點D，延長BD交AC的延長線線于點F，連結CD、OG平分CD．
（1）求證：AF=AB；
（2）求證：2OG=AD；
（3）若CD=4-2$\sqrt{2}$，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明△FAD≌△BAD，即可解決問題．
（2）連接OD，作OM⊥BD，則DM=BM，首先證明AD=2OM，再證明△ODG≌△ODM（HL），推出OG=OM，推出2OG=AD．
（3）因為CD為Rt△CBF斜邊上的中線，所以BF=2CD=2（4-2$\sqrt{2}$）=8-4$\sqrt{2}$，設OA=r，則AF=AB=2r，AC=BC=$\sqrt{2}$r，推出CF=（2-$\sqrt{2}$）r，在Rt△BCF中，根據BC²+CF²=BF²，
可得方程（$\sqrt{2}$r）²+[（2-$\sqrt{2}$）r]²=（8-4$\sqrt{2}$）²，求出r²即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADF=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD=∠BAD，
在△ADF和△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠BAD}\\{AD=AD}\\{∠ADF=∠ADB}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△BAD，
∴AF=AB．

（2）連接OD，作OM⊥BD，則DM=BM，
∵OA=OB，
∴OM∥AD，AD=2OM，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴CD=BD，
∵OG平分CD，
∴OG⊥CD，DG=CG，
∴DG=DM，
在Rt△ODG和Rt△ODM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{DG=DM}\end{array}\right.$，
∴△ODG≌△ODM（HL），
∴OG=OM，
∴2OG=AD．

（3）∵CD為Rt△CBF斜邊上的中線，
∴BF=2CD=2（4-2$\sqrt{2}$）=8-4$\sqrt{2}$，
設OA=r，則AF=AB=2r，AC=BC=$\sqrt{2}$r，
∴CF=（2-$\sqrt{2}$）r，
在Rt△BCF中，∵BC²+CF²=BF²，
∴（$\sqrt{2}$r）²+[（2-$\sqrt{2}$）r]²=（8-4$\sqrt{2}$）²，
∴r²=8-4$\sqrt{2}$，
∴⊙O的面積為（8-4$\sqrt{2}$）π．

點評 本題考查三角形的外接圓與外心、角平分線的性質、垂徑定理、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．