Question

14．如圖，已知AB∥DC，∠ABC=∠ADC，AE=CF，BE=DF，求證：EF與AC互相平分．

Answer 1

分析 連接AF、CE，由平行線的性質得出∠ABC+∠BCD=180°，∠BAC=∠DCA，證出∠ADC+∠BCD=180°，得出AD∥BC，證出四邊形ABCD是平行四邊形，得出AB=CD，由SSS證明△ABE≌△CDF，得出AE=CF，證出AE∥CF，得出四邊形AECF是平行四邊形，即可得出結論．

解答 證明：連接AF、CE，如圖所示：
∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAC=∠DCA，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{BE=DF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴AE=CF，∠BAE=∠DCF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴EF與AC互相平分．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握平行四邊形的性質與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．