Question

14．讓我們來共同探究“三角形的角平分線”的特殊性質：
如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，試探究S_△ABD與S_△ACD的比與圖中線段有何關系．
（1）下面（圖1）是小明的做法，請你完成他的步驟：過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．∵AD平分∠BAC，∴DE=DF．而S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC×DF．則$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{（）}{（）}$；
（2）下面（圖2）是小華的做法，請你完成他的步驟：過點A作AP⊥BC，垂足為P，而S_△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×AP，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×AP，則$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{（）}{（）}$
（3）結合（1）、（2）的結論，可得“三角形的角平分線”的一個新的性質：
已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，則線段AB、AC、BD、CD的關系為：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，根據角平分線的性質，得出DE=DF，再根據三角形的面積計算公式，得出$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB}{AC}$；
（2）過點A作AP⊥BC，垂足為P，根據三角形的面積計算公式，得出$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{BD}{CD}$；
（3）根據（1）、（2）的結論，即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
又∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DF，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB}{AC}$，
故答案為：DE，DF，AB，DE，AC，DF；

（2）如圖2，過點A作AP⊥BC，垂足為P，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×AP，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×AP，
∴則$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{BD}{CD}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$×BD×AP，$\frac{1}{2}$×CD×AP；

（3）根據（1）、（2）的結論，可得：
若在△ABC中，AD平分∠BAC，則線段AB、AC、BD、CD的關系為：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．
故答案為：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

點評 本題主要考查了角平分線的性質以及三角形的面積的計算公式的運用，解決問題的關鍵是掌握：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．解題時注意：等高的三角形的面積之比等于底邊之比．