Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發(fā)，沿邊CA往A運動，當(dāng)運動到點A時停止，設(shè)點D運動的時間為t秒，速度為每秒2個單位長度．
（1）填空：當(dāng)t=4.5或12.5秒時，△CBD是直角三角形；
（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)CD=速度×?xí)r間，得到CD，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB=90°時，利用△ABC的面積列式計算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時間=路程÷速度計算；②∠CBD=90°時，點D和點A重合，然后根據(jù)時間=路程÷速度計算即可得解；
（2）分①CD=BC時，CD=15；②CD=BD時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)可求CD；③BD=BC時，過點B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF；依此解答．

解答 解：（1）CD=2t，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=25，
AD=AC-CD=25-2t；
①∠CDB=90°時，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AB•BC，
即$\frac{1}{2}$×25BD=$\frac{1}{2}$×20×15，
解得BD=12，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=9，
t=9÷2=4.5；
②∠CBD=90°時，點D和點A重合，
t=25÷2=2.5．
綜上所述，t=4.5或12.5秒時，△CBD是直角三角形

（2）①CD=BC時，CD=15，t=15÷2=7.5；
②CD=BD時，∠C=∠DBC，
∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠A=∠DBA，
∴BD=AD，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=12.5，
∴t=12.5÷2=6.25；
③BD=BC時，如圖，過點B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF；
則CF=DF，
∵BF=12，
∴CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=9，
∴CD=2CF=9×2=18，
∴t=18÷2=9．
綜上所述，t=6.25或7.5或9秒時，△CBD是等腰三角形．
故答案為：4.5或12.5秒．

點評 本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．