Question

17．如圖，已知拋物線的頂點為（1，-$\frac{27}{8}$），與y軸交點C（0，-3），與x軸的交點為A，D（A在D的右側）．
（1）求該拋物線的函數解析式；
（2）求出A，D兩點的坐標．
（3）若點M在拋物線上，且△MAD的面積等于△COD的面積的3倍，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-$\frac{27}{8}$，把（0，-3）的坐標代入，求出a即可．
（2）令y=0，得$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=0，解方程即可．
（3）設M（m，n），由題意$\frac{1}{2}$×6×|n|=3×$\frac{1}{2}$×2×3，解得n=±3，對于拋物線y=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，當y=3時，$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=3，求出x的值．當y=-3時，$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=-3，求出x的值即可．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
把（0，-3）的坐標代入，得a=$\frac{3}{8}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$．

（2）令y=0，得$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=0，解得x=-2或4，
∴A（4，0），D（-2，0）．

（3）設M（m，n），
由題意$\frac{1}{2}$×6×|n|=3×$\frac{1}{2}$×2×3，
解得n=±3，
對于拋物線y=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
當y=3時，$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=3，解得x=1$±\sqrt{17}$，
∴M（1+$\sqrt{17}$，3）或（1-$\sqrt{17}$，3），
當y=-3時，$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=-3，解得x=2或0，
∴M（0，-3）或（2，-3），
綜上所述，滿足條件的點M的坐標為M（1+$\sqrt{17}$，3）或（1-$\sqrt{17}$，3）或（0，-3）或（2，-3）．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、待定系數法求二次函數解析式等知識，解題的關鍵是掌握二次函數的三種形式，學會構建方程解決問題，屬于中考常考題型．