Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=6，以斜邊AB的中點D為旋轉中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉90°得到Rt△A′B′C′，則旋轉后兩個直角三角形重疊部分的面積為（　　）

• A． 6
• B． 9
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 9$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖，先計算出AB=2AC=12，則BD=6，再根據旋轉的性質得B′D′=BD=6，則在Rt△BDM中可計算出DM=2$\sqrt{3}$，BM=2MD=4$\sqrt{3}$，所以B′M=B′D-DM=6-2$\sqrt{3}$，接著在Rt△B′MN中計算出MN=$\frac{1}{2}$B′M=3-$\sqrt{3}$，所以BN=3+3$\sqrt{3}$，在Rt△BNG中計算NG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BN=3+$\sqrt{3}$，然后利用S_陰影部分=S_△BNG-S_△BDM進行計算即可．

解答 解：如圖，
∵∠C=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=2AC=12，
∵點D為AB的中點，
∴BD=6，
∵△ABC繞點D逆時針方向旋轉90°得到Rt△A′B′C′，
∴B′D′=BD=6，
在Rt△BDM中，∵∠B=30°，
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=2$\sqrt{3}$，BM=2MD=4$\sqrt{3}$，
∴B′M=B′D-DM=6-2$\sqrt{3}$，
在Rt△B′MN中，MN=$\frac{1}{2}$B′M=3-$\sqrt{3}$，
∴BN=3-$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=3+3$\sqrt{3}$，
在Rt△BNG中，NG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BN=3+$\sqrt{3}$，
∴S_陰影部分=S_△BNG-S_△BDM=$\frac{1}{2}$•（3+$\sqrt{3}$）•（3+3$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•6=9．
故選B．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系和三角形面積公式．