Question

11．如果關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實(shí)數(shù)根，且其中一個實(shí)數(shù)根為另一個實(shí)數(shù)根的3倍，則稱這樣的方程為“立根方程”．
若方程ax²+bx+c=0是立根方程，且兩點(diǎn)P（p+p²+1，q）、Q（-p²+5+q，q）均在二次函數(shù)y=ax²+bx+c上，請求方程ax²+bx+c=0的兩個根．

Answer 1

分析 因?yàn)閮牲c(diǎn)P（p+p²+1，q）、Q（-p²+5+q，q）均在二次函數(shù)y=ax²+bx+c上，所以對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{P+{p}^{2}+1-{p}^{2}+5+q}{2}$，所以-$\frac{b}{a}$=6+p+q，設(shè)方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，3x₁，則有x₁+3x₁=6+p+q，求出x₁即可解決問題．

解答 解：兩點(diǎn)P（p+p²+1，q）、Q（-p²+5+q，q）均在二次函數(shù)y=ax²+bx+c上，
∴對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{P+{p}^{2}+1-{p}^{2}+5+q}{2}$，
∴-$\frac{b}{a}$=6+p+q，設(shè)方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，3x₁，
則有x₁+3x₁=6+p+q，
∴x₁=$\frac{6+p+q}{4}$，3x₁=$\frac{18+3p+3q}{4}$，
∴方程ax²+bx+c=0的兩個根為$\frac{6+p+q}{4}$，$\frac{18+3p+3q}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及根與系數(shù)關(guān)系，屬于中考創(chuàng)新題目．