Question

11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A從點O開始沿x軸的正方向移動，點B在∠xOy平分線上移動，移動中保持AB=2不變，以AB為一邊，著AB右側作矩形ABCD，且BC=1．
（1）當AB⊥OA時，請求出OC的長；
（2）取AB的中點E，當O、E、C三點共線時，請求出OA、OC的長；
（3）設△OAB的外接圓半徑為R，請判斷著移動過程中R的值是否發生變化，若不變，請求出R的值，若變化，請說明理由；
（4）請直接寫出線段OC的最大值．

Answer 1

分析 （1）當AB⊥OA，求出OD、CD的長度，然后利用勾股定理即可求出OC的長度．
（2）當O、E、C三點共線時，如圖所示，過點E作EF⊥OB于點F，過點C作CG⊥OB于點G，過點A作AH⊥OB于點H，可證明△BFE≌△BCG（AAS），從而可知設CG=x，BG=y，又可知△OEF∽△OCG，從而可求出x與y的值，再利用相似三角形的性質即可求出OC，再利用等腰三角形的性質即可求出OA的值．
（3）設△OAB的外接圓M，連接BM并延長交⊙M于N，連接AN，從而可知∠BOA=∠BNA=45°，∠BAN=90°，所以BN=$\sqrt{2}$AB．
（4）分別以A、B為圓心，AB為半徑作圓，當圓A與OB、圓B與OA相切時，OC可最大值，此時算出兩種情況下OC的長度，然后再進行比較即可．

解答 解：（1）當AB⊥OA時，
∵∠BOA=45°，
∴OA=AB=2，
∵AD=BC=1，
∴OD=OA+AD=3，
由勾股定理可知：OC=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
（2）當O、E、C三點共線時，如圖所示，
過點E作EF⊥OB于點F，過點C作CG⊥OB于點G，過點A作AH⊥OB于點H，
設CG=x，BG=y，
∵E是AB的中點，
∴BE=BC=1，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBE+∠CBG=∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠FBE=∠BCG，
在△BFE與△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠BCG}\\{∠EFB=∠BGC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$
∴△BFE≌△BCG（AAS）
∴EF=BG=y，BF=CG=x，
∵E是AB的中點，EF∥AH，
∴AH=2FE=2y，
∵∠AOB=45°，
∴OH=AH=2y，
∵EF∥CG，
∴△OEF∽△OCG，
$\frac{EF}{CG}$=$\frac{OF}{OG}$，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{2y+x}{2x+3y}$，
∴x²=3y²，
在Rt△BEF中，由勾股定理可知：
x²+y²=1，
∴4y²=1，
∴y=$\frac{1}{2}$或y=-$\frac{1}{2}$（舍）
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OG=2x+3y=$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$，CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△BEC中，
∴CE=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{EF}{CG}$=$\frac{OE}{OC}$，
∴$\frac{y}{x}=\frac{OE}{OE+\sqrt{2}}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴OC=OE+CE=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$
∵OA=$\sqrt{2}$OH=2$\sqrt{2}$y，
∴OA=$\sqrt{2}$，

（3）設△OAB的外接圓M，
連接BM并延長交⊙M于N，連接AN，
∵$\widehat{AB}=\widehat{AB}$，
∴∠BOA=∠BNA=45°，
∵BN是⊙M，
∴∠BAN=90°，
∴BN=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴R=$\sqrt{2}$
∴移動過程中R的值不會發生變化，
（4）以B為圓心，AB為半徑作⊙B，
當⊙B與OA相切時，
此時AB⊥OA，
由（1）可知：OC=$\sqrt{13}$，
以A為圓心，AB為半徑作⊙B，
當⊙A與OB相切時，
此時AB⊥OB，
∴AB=OB=2，
∴OC=OB+BC=3，
∵$\sqrt{13}$＞3，
∴線段OC的最大值為$\sqrt{13}$

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，解方程，勾股定理，切線的性質，等腰直角三角形的性質等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所學知識．