Question

6．問題背景
在數學活動課上，張老師要求同學們拿兩張大小不同的矩形紙片進行旋轉變換探究活動．如圖1，在矩形紙片ABCD和矩形紙片EFGH中，AB=1，AD=2，且EF＞AD，FG＞AB，點E是AD的中點，矩形紙片EFGH以點E為旋轉中心進行逆時針旋轉，在旋轉過程中會產生怎樣的數量關系，提出恰當的數學問題并加以解決．
解決問題
下面是三個學習小組提出的數學問題，請你解決這些問題．
（1）“奮進”小組提出的問題是：如圖1，當EF與AB相交于點M，EH與BC相交于點N時，求證：EM=EN．
（2）“雄鷹”小組提出的問題是：在（1）的條件下，當AM=CN時，AM與BM有怎樣的數量關系，說明理由．
（3）“創新”小組提出的問題是；若矩形EFGH繼續以點E為旋轉中心進行逆時針旋轉，當∠AEF=60°時，請你在圖2中畫出旋轉后的示意圖，并求出此時EF將邊BC分成的兩條線段的長度．

Answer 1

分析 （1）先判斷出PE=AE，再判斷出∠PEN=∠AEM，進而得到△PEN≌△AEM，即可得出結論；
（2）先判斷出PN=CN=$\frac{1}{2}$PC，進而求出PN=CN=$\frac{1}{2}$，再判斷出AM=PN，即可得出BM=$\frac{1}{2}$，結論得證；
（3）在直角三角形PEM中，求出PM，再用線段的和差即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，過點E作EP⊥BC，垂足為點P，
則四邊形ABPE是矩形，
∴PE=AB=1，∠AEP=90°，
∵點E是AD的中點，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴PE=AE，
∵∠MEN=∠AEP=90°，
∴∠MEN-∠MEP=∠AEP-∠MEP，
∴∠PEN=∠AEM，
∵PE=AE，∠EPN=∠EAM=90°，
∴△PEN≌△AEM，
∴EM=EN，
（2）由（1）知，△PEN≌△AEM，
∴AM=PN，
∵AM=CN，
∴PN=CN=$\frac{1}{2}$PC，
∵四邊形EPCD是矩形，
∴PC=DE=1，PN=CN=$\frac{1}{2}$，
∴AM=PN=$\frac{1}{2}$，BM=AB-AM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=BM，
（3）如圖2，當∠AEF=60°時，
設EF與BC交于M，EH與CD交于N，過點E作EP⊥BC于P，連接EC，
由（1）知，CP=EP=1，AD∥BC，
∴∠EMP=∠AEF=60°，
在Rt△PEM中，PM=$\frac{EP}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=BP-PM=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CM=PC+PM=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EF將邊BC分成的兩條線段的長度為1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，解（1）的關鍵是判斷出PE=AE，解（2）的關鍵是得出PN=CN=$\frac{1}{2}$，解（3）的關鍵是求出PM．