Question

17．如圖，E為正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC．
（1）AE與CE相等嗎？證明你的結(jié)論．
（2）求∠DAE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABE≌△CBE，再利用全等三角形的性質(zhì)，即可得到AE=CE；
（2）由正方形的性質(zhì)得到AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ABD=∠DBC=45°，推出AB=BE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAE=∠BEA=67.5°，根據(jù)∠DAE=∠DAB-∠BAE即可求出答案．

解答 解：（1）AE與CE相等，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABD）=67.5°，
∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=90°-67.5°=22.5°．

點(diǎn)評 本題主要考查對正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)；熟練掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．