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8.問題探究
(1)請在圖①的正方形ABCD的對角線BD上作一點P,使PA+PC最小;
(2)如圖②,點P為矩形ABCD的對角線BD上一動點,AB=2,BC=2$\sqrt{3}$,點E為BC邊的中點,求作一點P,使PE+PC最小,并求這個最小值.
問題解決
(3)如圖③,李師傅有一塊邊長為1000米的菱形ABCD采摘園,AC=1200米,BD為小路,BC的中點E為一水池,李師傅現在準備在小路BD上建一個游客臨時休息納涼室P,為了節省土地,使休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短,那么是否存在符合條件的點P?若存在,請作出的點P位置,并求出這個最短距離;若不存在,請說明理由.

分析 (1)利用正方形的對稱性直接連接AC即可;
(2)作出點C關于BD的對稱性,連接C'E交BD于P,進而判斷出△CEC'是直角三角形,利用勾股定理即可求出;
(3)直接連接AE交BD于P,再過點E作EF⊥AC,構造出直角三角形,再利用三角形的中位線求出EF,進而利用勾股定理求出CF,最后在Rt△AEF中利用勾股定理即可.

解答 解:(1)如圖①,

連接AC交BD于P,則AP+CP最小=AC;

(2)如圖②,作點C關于BD的對稱點C'交BD于F,連接C'E交BD于P,則PE+PC最小=C'E.
∵BD是矩形ABCD的對角線,
∴CD=AB=2,∠BCD=90°,
在Rt△BCD中,CD=2,BC=2$\sqrt{3}$,
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠CBD=30°,
由對稱知,CC'=2CF,CC'⊥BD,
∴∠CFD=90°,
∴∠BCF=60°,∠DCF=30°,
在Rt△CDF中,CD=2,∠DCF=30°,
∴CF=$\sqrt{3}$,
∴CC'=2CF=2$\sqrt{3}$,
∵點E為BC邊的中點,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$,
∴CF=CE,
連接EF,
∴△CEF是等邊三角形,
∴EF=CF=C'F,
∴△CEC'是直角三角形,
在Rt△CEC'中,CC'=2$\sqrt{3}$,CE=$\sqrt{3}$,
∴C'E=3,
∴PE+PC最小為3;

(3)如圖③,菱形ABCD的對角線相交于點O,
∴OC=OA=$\frac{1}{2}$AC=600,AC⊥BD,
在Rt△BOC中,OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=800,
過點E作EF⊥AC于F,
∴EF∥OB,
∵點E是BC的中點,EF=$\frac{1}{2}$OB=400,
∵CE=$\frac{1}{2}$BC=500,
根據勾股定理得,CF=$\sqrt{C{E}^{2}-E{F}^{2}}$=300,
∴AF=AC-CF=1200-300=900,
連接AE交BD于P,
即:PC+PE最小=AE,
在Rt△AEF中,根據勾股定理得,AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=100$\sqrt{97}$,

點評 此題是四邊形綜合題,主要考查了正方形的性質,矩形的性質,菱形的性質,對稱的性質,三角形的中位線,勾股定理;解(2)的關鍵是判斷出△CEC'是直角三角形,解(3)的關鍵是構造出直角三角形AEF.

練習冊系列答案
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