Question

8．問題探究
（1）請在圖①的正方形ABCD的對角線BD上作一點P，使PA+PC最小；
（2）如圖②，點P為矩形ABCD的對角線BD上一動點，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，點E為BC邊的中點，求作一點P，使PE+PC最小，并求這個最小值．
問題解決
（3）如圖③，李師傅有一塊邊長為1000米的菱形ABCD采摘園，AC=1200米，BD為小路，BC的中點E為一水池，李師傅現在準備在小路BD上建一個游客臨時休息納涼室P，為了節省土地，使休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短，那么是否存在符合條件的點P？若存在，請作出的點P位置，并求出這個最短距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的對稱性直接連接AC即可；
（2）作出點C關于BD的對稱性，連接C'E交BD于P，進而判斷出△CEC'是直角三角形，利用勾股定理即可求出；
（3）直接連接AE交BD于P，再過點E作EF⊥AC，構造出直角三角形，再利用三角形的中位線求出EF，進而利用勾股定理求出CF，最后在Rt△AEF中利用勾股定理即可．

解答 解：（1）如圖①，

連接AC交BD于P，則AP+CP最小=AC；

（2）如圖②，作點C關于BD的對稱點C'交BD于F，連接C'E交BD于P，則PE+PC最小=C'E．
∵BD是矩形ABCD的對角線，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，CD=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBD=30°，
由對稱知，CC'=2CF，CC'⊥BD，
∴∠CFD=90°，
∴∠BCF=60°，∠DCF=30°，
在Rt△CDF中，CD=2，∠DCF=30°，
∴CF=$\sqrt{3}$，
∴CC'=2CF=2$\sqrt{3}$，
∵點E為BC邊的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴CF=CE，
連接EF，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF=CF=C'F，
∴△CEC'是直角三角形，
在Rt△CEC'中，CC'=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$，
∴C'E=3，
∴PE+PC最小為3；

（3）如圖③，菱形ABCD的對角線相交于點O，
∴OC=OA=$\frac{1}{2}$AC=600，AC⊥BD，
在Rt△BOC中，OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=800，
過點E作EF⊥AC于F，
∴EF∥OB，
∵點E是BC的中點，EF=$\frac{1}{2}$OB=400，
∵CE=$\frac{1}{2}$BC=500，
根據勾股定理得，CF=$\sqrt{C{E}^{2}-E{F}^{2}}$=300，
∴AF=AC-CF=1200-300=900，
連接AE交BD于P，
即：PC+PE最小=AE，
在Rt△AEF中，根據勾股定理得，AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=100$\sqrt{97}$，

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，矩形的性質，菱形的性質，對稱的性質，三角形的中位線，勾股定理；解（2）的關鍵是判斷出△CEC'是直角三角形，解（3）的關鍵是構造出直角三角形AEF．