Question

9．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為（-2，0）．
（1）求拋物線的解析式及點B的坐標；
（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線BC上方，當以B，C，D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此時三角形的面積；
（3）拋物線的對稱軸為直線l，點C關于l的對稱點為E，能否在拋物線和l上分別找到點P，Q，使得以C，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數關系式，根據自變量與函數值得對應關系，可得答案；
（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是交大的縱坐標減較小的縱坐標，可得DE的長，根據三角形的面積，可得答案；
（3）根據一組對邊平行且相等，可得PE的長，根據自變量與函數值得對應關系，可得答案．

解答 解：（1）將A、C坐標代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-1-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2
當y=0時，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得x=-2，x=4，
即B點的坐標為（4，0），
（2）如圖1，，
BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設D點坐標為（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），E點坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
DE的長為-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{4}$m²+m，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$DE•x_B=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{4}$m²+m）×4=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
當m=2時，S_△BCD最大，此時D點坐標為（2，2）；
（3）存在P點，
如圖，
y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
拋物線的對稱軸是x=1．
C點關于對稱軸的對稱點是（2，2）
CE=2．
①CE∥P₁Q₁，CE=P₁Q₁=2，
1-2=-1，
當x=-1時，y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=$\frac{5}{4}$，即P₁（-1，$\frac{5}{4}$），
②CE∥P₂Q₂，CE=P₂Q₂=2，
1+2=3，
當x=3時，y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=$\frac{5}{4}$，即P₁（3，$\frac{5}{4}$），
綜上所述：P點坐標為（-1，$\frac{5}{4}$），（3，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式是解（1）的關鍵； 利用平行于y軸直線上兩點間的距離是交大的縱坐標減較小的縱坐標得出DE的長是解（2）的關鍵；利用CE=P₁Q₁=2得出P的橫坐標是解題關鍵．