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13.如圖1,已知在長方形ABCD中,AD=8,AB=4,將長方形ABCD沿著對角線BD折疊,使點C落在C'處,BC'交AD于點E.
(1)求證:△BED是等腰三角形.      
(2)求DE的長.
(3)如圖2,若點P是BD上一動點,PN⊥BE于點N,PM⊥AD于點M,問:PN+PM的長是否為定值?如果是,請求出該值,如果不是,請說明理由.

分析 (1)由折疊和平行線性質(zhì)可得:∠3=∠2,根據(jù)等角對等邊得BE=DE,所以△BDE是等腰三角形;
(2)設DE=x,則AE=8-x,BE=x,根據(jù)勾股定理列方程可求得AE的長;
(3)先判斷出PH⊥BC,再用角平分線定理得出PN=PH,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)由翻折知,∠1=∠2,
∵AD∥BC,
∴∠3=∠2,
∴∠1=∠3,
∴BE=DE,
即△BED是等腰三角形;

(2)設DE=x,則AE=8-x,BE=x,
在Rt△ABE中,x2=(8-x)2+42
解之,x=5,
∴DE=5;

(3)PM+PN為定值,是4,
如圖,

延長MP,交BC于點H,
∵AD∥BC,PM⊥AD,
∴PH⊥BC,
∵∠1=∠2,PN⊥BE,PH⊥BC,
∴PN=PH,
∴PM+PN=MN=AB=4.

點評 此題是四邊形綜合題,主要考查了矩形、折疊的性質(zhì)及等腰三角形的判定、勾股定理,角平分線定理,在四邊形計算中,常利用勾股定理列方程求邊的長度.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

14.如圖1,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為點E,連接AC,AD,點P為直徑AB上一點(不與點A,B重合),過點P的直線與弦AC相交于點F,與⊙O相交于點M,點N,且PF=AF.
(1)求證:MN∥AD;
(2)如圖2,連接DN,若MF=DN,求證:$\widehat{CM}=\widehat{CD}$;
(3)如圖3,在(2)的條件下.過點C作MN的垂線,分別與AB,AD,⊙O相交于點K,點H,點G,連接BC,若BC=5,CG=11,求弦DN的長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.如圖,同心⊙O中,大圓弦AB與小圓交于點M、N.
(1)求證:AM=BN;
(2)若AB=8,MN=4,且大圓半徑為5,求小圓的半徑.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

1.如圖,直線y=kx+b(b<0)與拋物線y=ax2相交于點A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,拋物線y=ax2經(jīng)過點(4,-2)
(1)求出a的值;
(2)若x1•OB-y2•OA=0,求b的值;
(3)將拋物線向右平移一個單位,再向上平移n的單位.若在第一象限的拋物線上存在這樣的不同的兩點M、N,使得M、N關于直線y=x對稱,求n的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.問題探究
(1)請在圖①的正方形ABCD的對角線BD上作一點P,使PA+PC最小;
(2)如圖②,點P為矩形ABCD的對角線BD上一動點,AB=2,BC=2$\sqrt{3}$,點E為BC邊的中點,求作一點P,使PE+PC最小,并求這個最小值.
問題解決
(3)如圖③,李師傅有一塊邊長為1000米的菱形ABCD采摘園,AC=1200米,BD為小路,BC的中點E為一水池,李師傅現(xiàn)在準備在小路BD上建一個游客臨時休息納涼室P,為了節(jié)省土地,使休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短,那么是否存在符合條件的點P?若存在,請作出的點P位置,并求出這個最短距離;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

18.如圖,在直角坐標系中,△ABC的頂點A(-2,0),B(2,4),C(4,0).
(1)求△ABC的面積;
(2)點D為y軸負半軸上一動點,連接BD交x軸于點E,是否存在點D使得S△ADE=S△BCE?若存在,請求出點D的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點A、B、C為平行四邊形的三個頂點,試寫出第四個頂點P的坐標,你的答案唯一嗎?
(4)求出(3)中平行四邊形的面積.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題

5.當x≠5時,分式$\frac{1}{x-5}$有意義;當x=1時,分式$\frac{x-1}{x+1}$的值為零.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

2.關于x,y的方程mx+ny=10的解為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$,求m+n和m-n的值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于點D,BD=8cm.點M從點A出發(fā),沿AC的方向勻速運動,同時直線PQ由點B出發(fā),沿BA的方向勻速運動,運動過程中始終保持PQ∥AC,直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F.連接PM,設運動時間為t秒(0<t≤5).線段CM的長度記作y,線段BP的長度記作y,y和y關于時間t的函數(shù)變化情況如圖所示.
(1)由圖2可知,點M的運動速度是每秒2cm,當t為何值時,四邊形PQCM是平行四邊形?在圖2中反映這一情況的點是E($\frac{10}{3}$,$\frac{10}{3}$);
(2)設四邊形PQCM的面積為ycm2,求y與t之間的函數(shù)關系式;
(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形PQCM=$\frac{1}{2}$S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
(4)連接PC,是否存在某一時刻t,使點M在線段PC的垂直平分線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.

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