Question

13．如圖1，已知在長方形ABCD中，AD=8，AB=4，將長方形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C'處，BC'交AD于點E．
（1）求證：△BED是等腰三角形．      
（2）求DE的長．
（3）如圖2，若點P是BD上一動點，PN⊥BE于點N，PM⊥AD于點M，問：PN+PM的長是否為定值？如果是，請求出該值，如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由折疊和平行線性質(zhì)可得：∠3=∠2，根據(jù)等角對等邊得BE=DE，所以△BDE是等腰三角形；
（2）設DE=x，則AE=8-x，BE=x，根據(jù)勾股定理列方程可求得AE的長；
（3）先判斷出PH⊥BC，再用角平分線定理得出PN=PH，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由翻折知，∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BE=DE，
即△BED是等腰三角形；

（2）設DE=x，則AE=8-x，BE=x，
在Rt△ABE中，x²=（8-x）²+4²，
解之，x=5，
∴DE=5；

（3）PM+PN為定值，是4，
如圖，

延長MP，交BC于點H，
∵AD∥BC，PM⊥AD，
∴PH⊥BC，
∵∠1=∠2，PN⊥BE，PH⊥BC，
∴PN=PH，
∴PM+PN=MN=AB=4．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形、折疊的性質(zhì)及等腰三角形的判定、勾股定理，角平分線定理，在四邊形計算中，常利用勾股定理列方程求邊的長度．