Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點D，BD=8cm．點M從點A出發(fā)，沿AC的方向勻速運動，同時直線PQ由點B出發(fā)，沿BA的方向勻速運動，運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F．連接PM，設(shè)運動時間為t秒（0＜t≤5）．線段CM的長度記作y_甲，線段BP的長度記作y_乙，y_甲和y_乙關(guān)于時間t的函數(shù)變化情況如圖所示．
（1）由圖2可知，點M的運動速度是每秒2cm，當(dāng)t為何值時，四邊形PQCM是平行四邊形？在圖2中反映這一情況的點是E（$\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$）；
（2）設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm²，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使S_{四邊形PQCM}=$\frac{1}{2}$S_△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（4）連接PC，是否存在某一時刻t，使點M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由圖2判斷出點M的速度為2cm/s，PQ的運動速度為1cm/s，再由四邊形PQCM為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行，進而得到AP=AM，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；
（2）根據(jù)PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形的形狀必然相同可知△BPQ也為等腰三角形，即BP=PQ=t，再用含t的代數(shù)式就可以表示出BF，進而得到梯形的高PE=DF=8-t，又點M的運動速度和時間可知點M走過的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根據(jù)梯形的面積公式即可得到y(tǒng)與t的關(guān)系式；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，先求出三角形ABC的面積，又根據(jù)S_{四邊形PQCM}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，求出四邊形PQCM的面積，從而得到了y的值，代入第二問求出的y與t的解析式中求出t的值即可；
（4）假設(shè)存在，則根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得到MP=MC，過點M作MH垂直AB，由一對公共角的相等和一對直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到對應(yīng)邊成比例進而用含t的代數(shù)式表示出AH和HM的長，再由AP的長減AH的長表示出PH的長，從而在直角三角形PHM中根據(jù)勾股定理表示出MP的平方，再由AC的長減AM的長表示出MC的平方，根據(jù)兩者的相等列出關(guān)于t的方程進而求出t的值．

解答 解：（1）由圖2得，點M的運動速度為2cm/s，PQ的運動速度為1cm/s，
∵四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10-t=2t，
解得：t=$\frac{10}{3}$，
∴當(dāng)t=$\frac{10}{3}$時，四邊形PQCM是平行四邊形，此時，圖2中反映這一情況的點是E（$\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$）
故答案為：2，E（$\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$）．
（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ為等腰三角形，PQ=PB=t，
∴$\frac{BF}{BD}=\frac{BP}{BA}$，即$\frac{BF}{8}\frac{t}{10}$，
解得：BF=$\frac{4}{5}$t，
∴FD=BD-BF=8-$\frac{4}{5}$t，
又∵MC=AC-AM=10-2t，
∴y=$\frac{1}{2}$（PQ+MC）•FD=$\frac{1}{2}$（t+10-2t）（8-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{2}{5}$t²-8t+40；
（3）存在；
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×10×8=40，
當(dāng)S_{四邊形PQCM}=$\frac{1}{2}$S_△ABC時，y=$\frac{2}{5}$t²-8t+40=20，
解得：t=10-5$\sqrt{2}$，或t=10+5$\sqrt{2}$（不合題意，舍）；
即：t=10-5$\sqrt{2}$時，S_{四邊形PQCM}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
（4）假設(shè)存在某一時刻t，使得M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC，
過M作MH⊥AB，交AB與H，如圖所示：
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴$\frac{HM}{BD}=\frac{AH}{AD}=\frac{AM}{AB}$，
又∵AD=6，
∴$\frac{HM}{8}=\frac{AH}{6}=\frac{2t}{10}$，
∴HM=$\frac{8}{5}$t，AH=$\frac{6}{5}$t，
∴HP=10-t-$\frac{6}{5}$t=10-$\frac{11}{5}$t，
在Rt△HMP中，MP²=（$\frac{8}{5}$t）²+（10-$\frac{11}{5}$t）²=$\frac{37}{5}$t²-44t+100，
又∵MC²=（10-2t）²=100-40t+4t²，
∵MP²=MC²，
∴$\frac{37}{5}$t²-44t+100=100-40t+4t²，
解得 t₁=$\frac{20}{17}$，t₂=0（舍去），
∴t=$\frac{20}{17}$s時，點M在線段PC的垂直平分線上．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．第二問的解題關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的高之比等于對應(yīng)邊之比得出比例，進而求出關(guān)系式，第三問和第四問都屬于探究性試題，需要采用“逆向思維”．