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1.如圖,直線y=kx+b(b<0)與拋物線y=ax2相交于點A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,拋物線y=ax2經過點(4,-2)
(1)求出a的值;
(2)若x1•OB-y2•OA=0,求b的值;
(3)將拋物線向右平移一個單位,再向上平移n的單位.若在第一象限的拋物線上存在這樣的不同的兩點M、N,使得M、N關于直線y=x對稱,求n的取值范圍.

分析 (1)利用待定系數法即可解決問題.
(2)作AE⊥x軸于E,BF⊥x軸于F.首先證明△OAE∽△BOF,推出∠AOB=90°,由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$,消去y得到x2+8kx+8b=0,推出x1x2=8b,y1y2=-$\frac{1}{8}$x12•(-$\frac{1}{8}$x22)=$\frac{1}{64}$(x1x22=b2,由OA2+OB2=AB2,推出x12+y12+x22+y22=(x1-x22+(y1-y22,可得-2x1x2-2y1y2=0,即-16b-2b2=0,解方程即可解決問題.
(3)設平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{8}$(x-1)2+n,直線MN的解析式為y=-x+m,由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+n}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$消去y得到x2-10x+8m-8n+1=0,由M、N關于直線y=x對稱,可得5=$\frac{m}{2}$,推出m=10,推出x2-10x+81-8n=0,由題意△>0,可得100-4(81-8n)>0,解不等式即可解決問題.

解答 解:(1)∵拋物線y=ax2經過點(4,-2),
∴-2=a×42,得a=-$\frac{1}{8}$,即a的值是-$\frac{1}{8}$;

(2)作AE⊥x軸于E,BF⊥x軸于F.


由題意OE=-x1,BF=-y2
∵x1•OB-y2•OA=0,
∴OE•OB=BF•OA,
∴$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OA}{OB}$,
∴△OAE∽△BOF,
∴∠AOE=∠OBF,
∵∠OBF+∠BOF=90°,
∴∠AOE+∠BOF=90°,
∴∠AOB=90°,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$,消去y得到x2+8kx+8b=0,
∴x1x2=8b,y1y2=-$\frac{1}{8}$x12•(-$\frac{1}{8}$x22)=$\frac{1}{64}$(x1x22=b2
∵OA2+OB2=AB2
∴x12+y12+x22+y22=(x1-x22+(y1-y22
∴-2x1x2-2y1y2=0,
∴-16b-2b2=0,
解得b=-8或0(舍棄),
∴b=-8.

(3)設平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{8}$(x-1)2+n,直線MN的解析式為y=-x+m,

直線y=-x+m與直線y=x的交點為K,則K($\frac{m}{2}$,$\frac{m}{2}$),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+n}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$消去y得到x2-10x+8m-8n+1=0,
∵M、N關于直線y=x對稱,
∴5=$\frac{m}{2}$,
∴m=10,
∴x2-10x+81-8n=0,
由題意△>0,
∴100-4(81-8n)>0,
解得n>7.

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的性質、相似三角形的判定和性質、直角三角形的判定和性質、勾股定理、一元二次方程的根的判別式等知識,解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題,學會利用參數解決問題,屬于中考壓軸題.

練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:填空題

2.己知拋物線y=(x-2)2,P是拋物線對稱軸上的一個點,直線x=t分別與直線y=x、拋物線交于點A,B,若△ABP是等腰直角三角形,則t的值為0或3或$2±\sqrt{2}$或$3±\sqrt{3}$或$\frac{{7±\sqrt{17}}}{2}$.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

3.已知:AB∥CD,平面內有一點E,連接AE、CE
(1)如圖1,求證:∠E=∠A+∠C;
(2)如圖2,CD上有一點F,連接AF、EF,若∠FAE=∠FEA,∠EFD=2∠C,求證:∠AFC=2∠AEC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,平面內有一點G,連接AG、CG,若∠GCE與∠GAE互為補角,5∠AFC=2∠G,求∠G的度數.

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9.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在CB的延長線上,點F在DA的延長線上,∠EBA=∠FCA=∠ABC,BE=CD.
(1)如圖1,當∠BAC=90°時,判斷線段AE與線段AD的關系,并證明你的結論;
(2)如圖2,當∠BAC=60°時,過點F作FH⊥DC交DC的延長線于點H,BH-BE=2,EF=7,求CH的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:填空題

16.如圖,點O是直線l上一點,作射線OA,過O點作OB⊥OA于點O,則圖中∠1,∠2的數量關系為∠1+∠2=90°.

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6.閱讀下面的解答過程,然后作答:
有這樣一類題目:將$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$化簡,若你能找到兩個數 m和n,使m2+n2=a 且 mn=$\sqrt{b}$,則a+2$\sqrt{b}$ 可變為m2+n2+2mn,即變成(m+n)2,從而使得$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$     化簡.
例如:∵5+2$\sqrt{6}$=3+2+2$\sqrt{6}$=($\sqrt{3}$)2+($\sqrt{2}$)2+2$\sqrt{6}$=($\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$)2
∴$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$=$\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$
請你仿照上例解下面問題(1)$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$(2)$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

13.如圖1,已知在長方形ABCD中,AD=8,AB=4,將長方形ABCD沿著對角線BD折疊,使點C落在C'處,BC'交AD于點E.
(1)求證:△BED是等腰三角形.      
(2)求DE的長.
(3)如圖2,若點P是BD上一動點,PN⊥BE于點N,PM⊥AD于點M,問:PN+PM的長是否為定值?如果是,請求出該值,如果不是,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:填空題

10.已知$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}35°+co{s}^{2}36°=\frac{5}{4}{t}^{2}}\\{co{s}^{2}35°+si{n}^{2}36°=\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$,則實數t=-$\frac{8}{5}$或1.

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11.如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A從點O開始沿x軸的正方向移動,點B在∠xOy平分線上移動,移動中保持AB=2不變,以AB為一邊,著AB右側作矩形ABCD,且BC=1.
(1)當AB⊥OA時,請求出OC的長;
(2)取AB的中點E,當O、E、C三點共線時,請求出OA、OC的長;
(3)設△OAB的外接圓半徑為R,請判斷著移動過程中R的值是否發生變化,若不變,請求出R的值,若變化,請說明理由;
(4)請直接寫出線段OC的最大值.

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