分析 (1)利用待定系數法即可解決問題.
(2)作AE⊥x軸于E,BF⊥x軸于F.首先證明△OAE∽△BOF,推出∠AOB=90°,由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$,消去y得到x2+8kx+8b=0,推出x1x2=8b,y1y2=-$\frac{1}{8}$x12•(-$\frac{1}{8}$x22)=$\frac{1}{64}$(x1x2)2=b2,由OA2+OB2=AB2,推出x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2,可得-2x1x2-2y1y2=0,即-16b-2b2=0,解方程即可解決問題.
(3)設平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{8}$(x-1)2+n,直線MN的解析式為y=-x+m,由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+n}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$消去y得到x2-10x+8m-8n+1=0,由M、N關于直線y=x對稱,可得5=$\frac{m}{2}$,推出m=10,推出x2-10x+81-8n=0,由題意△>0,可得100-4(81-8n)>0,解不等式即可解決問題.
解答 解:(1)∵拋物線y=ax2經過點(4,-2),
∴-2=a×42,得a=-$\frac{1}{8}$,即a的值是-$\frac{1}{8}$;
(2)作AE⊥x軸于E,BF⊥x軸于F.
由題意OE=-x1,BF=-y2,
∵x1•OB-y2•OA=0,
∴OE•OB=BF•OA,
∴$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OA}{OB}$,
∴△OAE∽△BOF,
∴∠AOE=∠OBF,
∵∠OBF+∠BOF=90°,
∴∠AOE+∠BOF=90°,
∴∠AOB=90°,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$,消去y得到x2+8kx+8b=0,
∴x1x2=8b,y1y2=-$\frac{1}{8}$x12•(-$\frac{1}{8}$x22)=$\frac{1}{64}$(x1x2)2=b2,
∵OA2+OB2=AB2,
∴x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2,
∴-2x1x2-2y1y2=0,
∴-16b-2b2=0,
解得b=-8或0(舍棄),
∴b=-8.
(3)設平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{8}$(x-1)2+n,直線MN的解析式為y=-x+m,
直線y=-x+m與直線y=x的交點為K,則K($\frac{m}{2}$,$\frac{m}{2}$),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+n}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$消去y得到x2-10x+8m-8n+1=0,
∵M、N關于直線y=x對稱,
∴5=$\frac{m}{2}$,
∴m=10,
∴x2-10x+81-8n=0,
由題意△>0,
∴100-4(81-8n)>0,
解得n>7.
點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的性質、相似三角形的判定和性質、直角三角形的判定和性質、勾股定理、一元二次方程的根的判別式等知識,解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題,學會利用參數解決問題,屬于中考壓軸題.
科目:初中數學 來源: 題型:填空題
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