Question

1．如圖，直線y=kx+b（b＜0）與拋物線y=ax²相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，拋物線y=ax²經過點（4，-2）
（1）求出a的值；
（2）若x₁•OB-y₂•OA=0，求b的值；
（3）將拋物線向右平移一個單位，再向上平移n的單位．若在第一象限的拋物線上存在這樣的不同的兩點M、N，使得M、N關于直線y=x對稱，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F．首先證明△OAE∽△BOF，推出∠AOB=90°，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得到x²+8kx+8b=0，推出x₁x₂=8b，y₁y₂=-$\frac{1}{8}$x₁²•（-$\frac{1}{8}$x₂²）=$\frac{1}{64}$（x₁x₂）²=b²，由OA²+OB²=AB²，推出x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，可得-2x₁x₂-2y₁y₂=0，即-16b-2b²=0，解方程即可解決問題．
（3）設平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{8}$（x-1）²+n，直線MN的解析式為y=-x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}（x-1）^{2}+n}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$消去y得到x²-10x+8m-8n+1=0，由M、N關于直線y=x對稱，可得5=$\frac{m}{2}$，推出m=10，推出x²-10x+81-8n=0，由題意△＞0，可得100-4（81-8n）＞0，解不等式即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²經過點（4，-2），
∴-2=a×4²，得a=-$\frac{1}{8}$，即a的值是-$\frac{1}{8}$；

（2）作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F．


由題意OE=-x₁，BF=-y₂，
∵x₁•OB-y₂•OA=0，
∴OE•OB=BF•OA，
∴$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OA}{OB}$，
∴△OAE∽△BOF，
∴∠AOE=∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠AOB=90°，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得到x²+8kx+8b=0，
∴x₁x₂=8b，y₁y₂=-$\frac{1}{8}$x₁²•（-$\frac{1}{8}$x₂²）=$\frac{1}{64}$（x₁x₂）²=b²，
∵OA²+OB²=AB²，
∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
∴-2x₁x₂-2y₁y₂=0，
∴-16b-2b²=0，
解得b=-8或0（舍棄），
∴b=-8．

（3）設平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{8}$（x-1）²+n，直線MN的解析式為y=-x+m，

直線y=-x+m與直線y=x的交點為K，則K（$\frac{m}{2}$，$\frac{m}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}（x-1）^{2}+n}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$消去y得到x²-10x+8m-8n+1=0，
∵M、N關于直線y=x對稱，
∴5=$\frac{m}{2}$，
∴m=10，
∴x²-10x+81-8n=0，
由題意△＞0，
∴100-4（81-8n）＞0，
解得n＞7．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的性質、相似三角形的判定和性質、直角三角形的判定和性質、勾股定理、一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會利用參數解決問題，屬于中考壓軸題．