Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在CB的延長線上，點F在DA的延長線上，∠EBA=∠FCA=∠ABC，BE=CD．
（1）如圖1，當∠BAC=90°時，判斷線段AE與線段AD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當∠BAC=60°時，過點F作FH⊥DC交DC的延長線于點H，BH-BE=2，EF=7，求CH的長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AE=AD，且AE⊥AD．只要證明△EAB≌△DAC即可解決問題．
（2）如圖2中，作FM⊥CA交CA的延長線于M，交BE于N．設(shè)CH=x，DB=y，AB=BC=AC=a．想辦法構(gòu)建方程組即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：AE=AD，且AE⊥AD．
理由：如圖1中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠EBA=∠ABC=45°，
∴∠EBA=∠ACD，
在△EAB和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=CD}\\{∠EBA=∠ACD}\\{BA=CA}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DAC，
∴AE=AD，∠EAB=∠DAC，
∴∠EAD=∠BAC=90°，
∴AE=AD，且AE⊥AD．

（2）如圖2中，作FM⊥CA交CA的延長線于M，交BE于N．設(shè)CH=x，DB=y，AB=BC=AC=a．

∵BE=CD，BH-BE=2，
∴CH-DB=2，即x-y=2，
∵∠ABD=∠FCD=120°，
∴AB∥CF，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{DB}{DC}$，
∴$\frac{a}{2x}$=$\frac{x-2}{x-2+a}$，
∴ax-2a+a²=2x²-4x     ①，
在Rt△EFN中，∵EF²=EN²+FN²，
易知FN=$\frac{3}{2}$a-2，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，F(xiàn)M=$\sqrt{3}$x，
∴49=（$\frac{3}{2}$a-2）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\sqrt{3}$x）²，
整理得3（ax-2a+a²）+4+3x²=49   ②，
①代入②得到，6x²-12x+4+3x²=49，
整理得3x²-4x-15=0，
解得x=3或-$\frac{5}{3}$（舍棄），
∴CH=3．

點評 本題考查三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、二元二次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學知識解決問題，學會用構(gòu)建方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．