Question

14．如圖1，已知點A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁，x₂是方程x²-8x+12=0的兩根，且x₁＜x₂，C（3，$\sqrt{3}$）．

（1）求點A、B的坐標．
（2）作CH⊥AB于H，設E為OC延長線上一點，連EH交線段BC于F，問是否存在點E，使△CHF與△BEF相似？如果存在，求OE的長，如果不存在，說明理由．
（3）如圖2，取AB的中點D，問在直線CD上是否存在點P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接解一元二次方程即可得出點A，B坐標；
（2）先求出∠CBH=30°，進而判斷只有△CHF∽△HBF即可得出FH⊥BC，再求出直線BC解析式，進而得出FH的解析式，聯立直線OC的解析式即可得出結論；
（3）先判斷出∠ACB是直角，即可用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出點P的坐標．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-8x+12=0的兩根，
∴x₁=2，x₂=6，∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，理由：如圖1，由（1）知，B（6，0），
∵CH⊥AB于H且C（3，$\sqrt{3}$），
∴H（3，0），
∴OH=BH=3，
∵CH=$\sqrt{3}$，在Rt△BCH中，tan∠CBH=$\frac{CH}{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBH=30°，
∴∠BCH=60°，
∵點E在OC延長線上，
∴∠CHF＜60°，
∵△CHF與△BEF相似，
∴△CHF∽△HBF，
∴∠BHF=∠BCH=60°，
∴∠BHF+∠CBH=90°，
∴∠BFH=90°，
∴FH⊥BC，
∵B（6，0），C（3，$\sqrt{3}$），
∴直線BC解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∵H（3，0），
∴直線FH的解析式為y=$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$①，
∵C（3，$\sqrt{3}$），
∴直線OC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x②，
聯立①②得，點E（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴OE=3$\sqrt{3}$；
（3）如圖2．∵A（2，0），B（6，0），C（3，$\sqrt{3}$），
∴AC²+BC²=4+12=16=AB²，
∴△ABC是直角三角形，即：∠ACB=90°，
∵點D是AB中點，
∴D（4，0），CD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵△ABP是直角三角形，
∴∠APB=90°，
①點P和點C重合，即：P（3，$\sqrt{3}$）；
②∵∠APB=90°，
∴PD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵P在CD上，
∴D點D也是CP的中點，
∴P（5，-$\sqrt{3}$）；
即：滿足條件的點P（3，$\sqrt{3}$）或（5，-$\sqrt{3}$）．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了一元二次方程的解法，銳角三角函數，直角三角形的判定和性質，相似三角形的性質，解（2）的關鍵是判斷出△CHF∽△HBF，解（3）的關鍵是得出∠ACB=90°．