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14.如圖1,已知點A(x1,0),B(x2,0),其中x1,x2是方程x2-8x+12=0的兩根,且x1<x2,C(3,$\sqrt{3}$).

(1)求點A、B的坐標.
(2)作CH⊥AB于H,設E為OC延長線上一點,連EH交線段BC于F,問是否存在點E,使△CHF與△BEF相似?如果存在,求OE的長,如果不存在,說明理由.
(3)如圖2,取AB的中點D,問在直線CD上是否存在點P,使△ABP是直角三角形?若存在,求出所有符合條件的P點的坐標;若不存在,請說明理由.

分析 (1)直接解一元二次方程即可得出點A,B坐標;
(2)先求出∠CBH=30°,進而判斷只有△CHF∽△HBF即可得出FH⊥BC,再求出直線BC解析式,進而得出FH的解析式,聯立直線OC的解析式即可得出結論;
(3)先判斷出∠ACB是直角,即可用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出點P的坐標.

解答 解:(1)∵x1,x2是方程x2-8x+12=0的兩根,
∴x1=2,x2=6,∴A(2,0),B(6,0);
(2)存在,理由:如圖1,由(1)知,B(6,0),
∵CH⊥AB于H且C(3,$\sqrt{3}$),
∴H(3,0),
∴OH=BH=3,
∵CH=$\sqrt{3}$,在Rt△BCH中,tan∠CBH=$\frac{CH}{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠CBH=30°,
∴∠BCH=60°,
∵點E在OC延長線上,
∴∠CHF<60°,
∵△CHF與△BEF相似,
∴△CHF∽△HBF,
∴∠BHF=∠BCH=60°,
∴∠BHF+∠CBH=90°,
∴∠BFH=90°,
∴FH⊥BC,
∵B(6,0),C(3,$\sqrt{3}$),
∴直線BC解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$,
∵H(3,0),
∴直線FH的解析式為y=$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$①,
∵C(3,$\sqrt{3}$),
∴直線OC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x②,
聯立①②得,點E($\frac{9}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$),
∴OE=3$\sqrt{3}$;
(3)如圖2.∵A(2,0),B(6,0),C(3,$\sqrt{3}$),
∴AC2+BC2=4+12=16=AB2
∴△ABC是直角三角形,即:∠ACB=90°,
∵點D是AB中點,
∴D(4,0),CD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∵△ABP是直角三角形,
∴∠APB=90°,
①點P和點C重合,即:P(3,$\sqrt{3}$);
②∵∠APB=90°,
∴PD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∵P在CD上,
∴D點D也是CP的中點,
∴P(5,-$\sqrt{3}$);
即:滿足條件的點P(3,$\sqrt{3}$)或(5,-$\sqrt{3}$).

點評 此題是相似形綜合題,主要考查了一元二次方程的解法,銳角三角函數,直角三角形的判定和性質,相似三角形的性質,解(2)的關鍵是判斷出△CHF∽△HBF,解(3)的關鍵是得出∠ACB=90°.

練習冊系列答案
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15.菱形ABCD在直角坐標系中的位置如圖所示,其中點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(0,$\sqrt{3}$),動點P從點A出發,沿A→B→C→D→A→B→…的路徑,在菱形的邊上以每秒1個單位長度的速度移動,移動到第2015秒時,點P的坐標為( $\frac{3}{4}$,-$\frac{\sqrt{3}}{4}$).

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16.已知關于x的方程x2+2x=m-1無實根,試說明x2+mx=1-2m必有兩個不相等的實數根的理由.

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2.如圖,已知AE=DE=5,AB=CD,BC=4,∠E=60°,∠A=∠D=90°,那么五邊形ABCDE的面積是(  )
A.6$\sqrt{2}$B.6$\sqrt{3}$C.7$\sqrt{2}$D.7$\sqrt{3}$

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9.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在CB的延長線上,點F在DA的延長線上,∠EBA=∠FCA=∠ABC,BE=CD.
(1)如圖1,當∠BAC=90°時,判斷線段AE與線段AD的關系,并證明你的結論;
(2)如圖2,當∠BAC=60°時,過點F作FH⊥DC交DC的延長線于點H,BH-BE=2,EF=7,求CH的長.

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19.在等腰 Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=2,D是BC邊上的點且BD=$\frac{1}{3}$CD,連接AD.AD⊥AE,AE=AD,連接BE.下列結論:
①△ADC≌△AEB;
②BE⊥CB;
③點B到直線AD的距離為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$;
④四邊形AEBC的周長是$\frac{{7\sqrt{2}+\sqrt{10}}}{2}+2$;
⑤S四邊形ADBE=2.
其中正確的有(  )
A.2個B.3個C.4個D.5個

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6.閱讀下面的解答過程,然后作答:
有這樣一類題目:將$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$化簡,若你能找到兩個數 m和n,使m2+n2=a 且 mn=$\sqrt{b}$,則a+2$\sqrt{b}$ 可變為m2+n2+2mn,即變成(m+n)2,從而使得$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$     化簡.
例如:∵5+2$\sqrt{6}$=3+2+2$\sqrt{6}$=($\sqrt{3}$)2+($\sqrt{2}$)2+2$\sqrt{6}$=($\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$)2
∴$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$=$\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$
請你仿照上例解下面問題(1)$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$(2)$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$.

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3.二次根式$\sqrt{a{x}^{2}+bx+c}$(a2+b2≠0)對于x的任何值都無意義的條件是(  )
A.a>0,△>0B.a>0,△<0C.a<0,△>0D.a<0,△<0

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4.如圖,已知直線m的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1,與x軸、y軸分別交于A,B兩點,以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC,且∠BAC=90°,點P為直線x=1上的動點,且△ABP的面積與△ABC的面積相等.
(1)求△ABC的面積;
(2)求點P的坐標.

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