Question

2．如圖，已知AE=DE=5，AB=CD，BC=4，∠E=60°，∠A=∠D=90°，那么五邊形ABCDE的面積是（　　）

• A． 6$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{3}$
• C． 7$\sqrt{2}$
• D． 7$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作輔助線，將原五邊形拓展為△EFG，證明△ABE≌△DCE（SAS），得△FEG是等邊三角形，AF=DG=x，則FB=CG=2x，根據FG=EF列式可求得x的值，利用三角函數依次求FG、AB、BH的長，利用：S_{五邊形ABCDE}=S_△EFG-2S_△ABF代入計算即可．

解答 解：連接BE、CE，作直線BC，交ED的延長線于G，交EA的延長線于F，過E作EH⊥BC于H，
在△ABE和△DCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠EAB=∠EDC=90°}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB=EC，∠AEB=∠DEC，
∵EH⊥BC，
∴EH平分∠BEC，
∴EF平分∠FEG，
∴△FEG是等腰三角形，
∵∠AED=60°，
∴△FEG是等邊三角形，
∴EF=EG，
∴EF-AE=EG-ED，
即AF=DG，
設AF=DG=x，則FB=CG=2x，
由FG=EF得：4+4x=5+x，
x=$\frac{1}{3}$，
∴FG=4+4×$\frac{1}{3}$=$\frac{16}{3}$，
在Rt△EHG中，tan60°=$\frac{EH}{GH}=\sqrt{3}$，
∴EH=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
Rt△ABF中，AB=tan60°x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_{五邊形ABCDE}=S_△EFG-2S_△ABF=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$；
故選D．

點評 本題考查了三角形全等的性質和判定、等腰三角形、等邊三角形的性質和判定、三角函數以及不規則圖形面積的求法，正確做出輔助線是本題的關鍵，熟練掌握等邊三角形的性質和判定是突破口，與直角三角形30°角的性質和特殊的三角函數相結合，使問題得以解決．