Question

8．如圖，一次函數y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，一拋物線的頂點在直線AB上，形狀與函數y=-$\frac{1}{2}$x²圖象相同，它與x軸分別交于點C、D（點C在點D的左側），拋物線的頂點為點E．
（1）寫出點A、B的坐標；
（2）當點C與點A關于原點對稱時，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）拋物線的頂點在直線AB上，形狀與函數y=-$\frac{1}{2}$x²圖象相同，設頂點坐標為（m，m+2），可以假設拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+2，因為A、C關于原點對稱，可得C（2，0），把（2，0）代入y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+2，得到m=0或6，由此即可解決問題．

解答 解：（1）對于一次函數y=x+2，令x=0得y=2，令y=0得x=-2，
∴A（-2，0），B（0，2）．

（2）∵拋物線的頂點在直線AB上，形狀與函數y=-$\frac{1}{2}$x²圖象相同，設頂點坐標為（m，m+2），
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+2，
∵A、C關于原點對稱，
∴C（2，0），把（2，0）代入y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+2，得到m=0或6，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2或y=-$\frac{1}{2}$（x-6）²+8．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、一次函數的應用等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型．