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18.如圖,已知點E是?ABCD中BC邊的中點,連接AE并延長交DC的延長線于點F.
(1)連按AC,BF,若∠AEC=2∠ABC,求證:四邊形ABFC為矩形;
(2)在(1)的條件下,若△AFD是等邊三角形,且邊長為4,求四邊形ABFC的面積.

分析 (1)由ABCD為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到AB與DC平行,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等,由E為BC的中點,得到兩條線段相等,再由對應角相等,利用ASA可得出三角形ABE與三角形FCE全等;進而得出AB=FC,即可得出四邊形ABFC是平行四邊形,再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形,即可得出平行四邊形ABFC是矩形.
(4)由等邊三角形的性質(zhì)得出∠AFC=60°,AF=DF=4,得出CF=CD=2,由矩形的性質(zhì)得出∠ACF=90°,得出AC=$\sqrt{3}$CF=2$\sqrt{3}$,即可得出四邊形ABFC的面積=AC•CF=4$\sqrt{3}$.

解答 (1)證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AB∥DC,
∴∠ABE=∠ECF,
又∵E為BC的中點
∴BE=CE,
在△ABE和△FCE中,$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ECF}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\\{∠AEB=∠FEC}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△FCE(ASA);
∴AE=EF,AB=CF,
∴四邊形ABFC是平行四邊形,
∵∠AEC=2∠ABC=∠ABC+∠BAE,
∴∠ABC=BAE,
∴AE=BE
∵AE=EF,BE=CE,
∴AF=BC
∴平行四邊形ABFC是矩形.
(2)解:∵△AFD是等邊三角形,
∴∠AFC=60°,AF=DF=4,
∴CF=CD=2,
∵四邊形ABFC是矩形,
∴∠ACF=90°,
∴AC=$\sqrt{3}$CF=2$\sqrt{3}$,
∴四邊形ABFC的面積=AC•CF=4$\sqrt{3}$.

點評 此題主要考查了矩形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識,根據(jù)已知得出AB=CF是解題關(guān)鍵.

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