Question

18．如圖，已知點E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F．
（1）連按AC，BF，若∠AEC=2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形；
（2）在（1）的條件下，若△AFD是等邊三角形，且邊長為4，求四邊形ABFC的面積．

Answer 1

分析 （1）由ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到AB與DC平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，由E為BC的中點，得到兩條線段相等，再由對應角相等，利用ASA可得出三角形ABE與三角形FCE全等；進而得出AB=FC，即可得出四邊形ABFC是平行四邊形，再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形，即可得出平行四邊形ABFC是矩形．
（4）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠AFC=60°，AF=DF=4，得出CF=CD=2，由矩形的性質(zhì)得出∠ACF=90°，得出AC=$\sqrt{3}$CF=2$\sqrt{3}$，即可得出四邊形ABFC的面積=AC•CF=4$\sqrt{3}$．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E為BC的中點
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ECF}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\\{∠AEB=∠FEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
∴AE=EF，AB=CF，
∴四邊形ABFC是平行四邊形，
∵∠AEC=2∠ABC=∠ABC+∠BAE，
∴∠ABC=BAE，
∴AE=BE
∵AE=EF，BE=CE，
∴AF=BC
∴平行四邊形ABFC是矩形．
（2）解：∵△AFD是等邊三角形，
∴∠AFC=60°，AF=DF=4，
∴CF=CD=2，
∵四邊形ABFC是矩形，
∴∠ACF=90°，
∴AC=$\sqrt{3}$CF=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形ABFC的面積=AC•CF=4$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了矩形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出AB=CF是解題關(guān)鍵．