Question

7．如圖1，直線l交x軸于點(diǎn)D，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交于兩點(diǎn)A、E、AG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，S_△AOG=3
（1）k=6；
（2）求證：AD=CE；
（3）如圖2，若當(dāng)E為平行四邊形OABC的對角線AC的中點(diǎn)，求平行四邊形OABC的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（m，n），由題意 $\frac{1}{2}$•OG•AG=3，推出mn=6，由點(diǎn)A在y=$\frac{k}{x}$上，推出k=mn=6．
（2）如圖1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．設(shè)直線CD的解析式為y=k′x+b，A（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．首先證明EM=-k′AN，EM=-k′MC，推出AN=CM，再證明△DAN≌△ECM，即可解決問題．
（3）如圖2中，連接GD，GE．由EA=EC，AD=EC，推出AD=AE=EC，推出S_△ADG=S_△AGE=S_△GEC=3，求出△AOC的面積即可解決問題．

解答 （1）解：設(shè)A（m，n），
∵$\frac{1}{2}$•OG•AG=3，
∴$\frac{1}{2}$•m•n=3，
∴mn=6，
∵點(diǎn)A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=mn=6．
故答案為6．

（2）證明：如圖1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．設(shè)直線CD的解析式為y=k′x+b，A（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．

則有y₁=k′x₁+b，y₂=k′x₂+b，
∴y₂-y₁=k′（x₂-x₁），
∴$\frac{6}{{x}_{2}}$-$\frac{6}{{x}_{1}}$=k′（x₂-x₁），
∴-k′x₁x₂=6，
∴-k′x₁=$\frac{6}{{x}_{2}}$，
∴y₂=-k′x₁，
∴EM=-k′AN，
∵D（0，b），C（-$\frac{k′}$，0），
∴tan∠DCO=$\frac{OD}{OC}$=-k′=$\frac{EM}{MC}$，
∴EM=-k′MC，
∴AN=CM，
∵AN∥CM，
∴∠DAN=∠ECM，
在△DAN和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAN=∠ECM}\\{AN=CM}\\{∠DNA=∠EMC=90°}\end{array}\right.$，
∴△DAN≌△ECM，
∴AD=EC．

（3）解：如圖2中，連接GD，GE．

∵EA=EC，AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∴S_△ADG=S_△AGE=S_△GEC=3，
∵S_△AOG=S_△ADG=3，
∴S_△AOC=3+3+3=9，
∴平行四邊形ABCD的面積=2•S_△AOC=18．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，本題的突破點(diǎn)是證明AN=CM，題目比較難，屬于中考壓軸題．