Question

2．己知拋物線y=（x-2）²，P是拋物線對稱軸上的一個點，直線x=t分別與直線y=x、拋物線交于點A，B，若△ABP是等腰直角三角形，則t的值為0或3或$2±\sqrt{2}$或$3±\sqrt{3}$或$\frac{{7±\sqrt{17}}}{2}$．

Answer 1

分析 首先求出拋物線與直線y=x的交點坐標，再分四種情形列出方程即可解決問題．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-2）^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
根據的通知解三角形的性質可知當AB=|P_x-A_x|或AB=2|P_x-A_x|時，△PAB可以是等腰直角三角形．
①當0＜x≤1時，（t-2）²-t=2-t或（t-2）²-t=2（2-t），
解得t=2-$\sqrt{2}$或0，
②當1＜t≤2時，t-（t-2）²=2-t或t-（t-2）²=2（2-t），
解得t=3-$\sqrt{3}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，
③當2＜t≤4時，t-（t-2）²=（t-2），或t-（t-2）²=2（t-2），
解得t=2+$\sqrt{2}$或3，
④當t＞4時，（t-2）²-t=t-2或（t-2）²-t=2（t-2），
解得t=3+$\sqrt{3}$或$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$，
綜上所述，滿足條件的t的值為0或3或$2±\sqrt{2}$或$3±\sqrt{3}$或$\frac{{7±\sqrt{17}}}{2}$．
故答案為0或3或$2±\sqrt{2}$或$3±\sqrt{3}$或$\frac{{7±\sqrt{17}}}{2}$．

點評 本題考查二次函數的性質、一次函數的應用、等腰直角三角形的性質、一元二次方程等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．