Question

15．菱形ABCD在直角坐標系中的位置如圖所示，其中點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，$\sqrt{3}$），動點P從點A出發，沿A→B→C→D→A→B→…的路徑，在菱形的邊上以每秒1個單位長度的速度移動，移動到第2015秒時，點P的坐標為（ $\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

Answer 1

分析 先根據勾股定理求出菱形的邊長，再根據點P的運動速度求出沿A→B→C→D→A所需的時間，進而可得出結論．

解答 解：∵A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
∵點P的運動速度為0.5米/秒，
∴從點A到點B所需時間=$\frac{2}{0.5}$=4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的時間=4×4=16秒．
∵$\frac{2015}{16}$=125…15，
∴移動到第2015秒和第15秒的位置相同，當P運動到第15秒時，如圖所示，作PE⊥AC于E，PF⊥OD于F．
可得 $\frac{AP}{AD}$=$\frac{1}{4}$，
∵PE∥OD，PF∥OA，
∴$\frac{PE}{OD}$=$\frac{AP}{AD}$，$\frac{PF}{OA}$=$\frac{DP}{DA}$，
∴PE=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，PF=1×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴P（ $\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．
故答案為：（ $\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

點評 本題考查的是菱形的性質，路程、速度、時間之間的關系，根據題意得出點P運動一周所需的時間是解答此題的關鍵，學會添加常用輔助線，利用平行線的性質解決問題，所以中考常考題型．