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20.如圖,在⊙O中,弦AC,BD相交于點(diǎn)M,且∠A=∠B
(1)求證:AC=BD;
(2)若OA=4,∠A=30°,當(dāng)AC⊥BD時,求:
①弧CD的長;
②圖中陰影部分面積.

分析 (1)延長AO交⊙O于點(diǎn)F,連接CF,延長BO交⊙O于點(diǎn)E,連接DE,根據(jù)圓周角定理得出∠EDB=∠FCA=90°,故可得出△DEB≌△CFA,由此得出結(jié)論;
(2)延長AO交⊙O于點(diǎn)F,連接CF,延長BO交⊙O于點(diǎn)E,連接DE,CD,OD,OC,求出∠COA的度數(shù),再由三角形外角的性質(zhì)得出∠EOA的度數(shù),由弧長公式即可得出結(jié)論;
(3)過O作OG⊥AC于G,OH⊥BD于H,連接OM,根據(jù)垂徑定理得到AG=$\frac{1}{2}$AC,BH=$\frac{1}{2}$BD,推出四邊形OGMH是正方形,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到GM=HM=OG=OH,得到AM=BM,解直角三角形得到AM=BM=2+2$\sqrt{3}$,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B=∠A=30°,求得∠AOB=150°,于是得到結(jié).

解答 (1)證明:延長AO交⊙O于點(diǎn)F,連接CF,延長BO交⊙O于點(diǎn)E,連接DE,
∵BE,AF是⊙O的直徑,
∴∠EDB=∠FCA=90°.
在△DEB與△CFA中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠FCA}\\{∠B=∠A}\\{EB=FA}\end{array}\right.$,
∴△DEB≌△CFA(AAS),
∴AC=BD;

解:(2)延長AO交⊙O于點(diǎn)F,連接CF,延長BO交⊙O于點(diǎn)E,連接DE,CD,OD,OC,
∵∠A=30°,OA=OC,
∴∠COA=180°-30°-30°=120°.
∵∠A=∠B=30°,AC⊥BD,
∴∠EOA+∠A=60°,
∴∠EOA=30°,
∴∠DOE=60°,
∴∠COD=30°,
∴l(xiāng)${\;}_{\widehat{CD}}$=$\frac{30πR}{180}$=$\frac{2}{3}$π;

(3)過O作OG⊥AC于G,OH⊥BD于H,連接OM,
則AG=$\frac{1}{2}$AC,BH=$\frac{1}{2}$BD,
∵AC=BD,
∴OG=OH,AG=BH,
∴四邊形OGMH是正方形,
∴GM=HM=OG=OH,
∴AM=BM,
∵OA=4,∠A=30°,
∴AG=2$\sqrt{3}$,GM=HM=OG=OH=2,
∴AM=BM=2+2$\sqrt{3}$,
在Rt△AGO與Rt△BHO中$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{OG=OH}\end{array}\right.$,
∴Rt△AGO≌Rt△BHO,
∴∠B=∠A=30°,
∴∠AOG=∠BOH=60°,
∴∠AOB=150°,
∴S陰影=S扇形+S△AOM+S△BOM=$\frac{150•π×{4}^{2}}{360}$+2×$\frac{1}{2}×$(2+2$\sqrt{3}$)×2=$\frac{20π}{3}$+4$\sqrt{3}$+4.

點(diǎn)評 本題考查的是垂徑定理,扇形面積的計算,全等三角形的判斷和性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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10.計算:
(1)(-8)-(-1)
(2)$-{2^2}-16÷(-4)×(-\frac{3}{4})$
(3)$(\frac{5}{6}-\frac{3}{4}-\frac{1}{3})×({-24})$
(4)9$\frac{14}{15}$×(-15)
(5)-12-62×(-1$\frac{1}{2}$)2-32÷(-1$\frac{1}{2}$)3×3
(6)-23+|2-3|-2×(-1)2014

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11.拖拉機(jī)開始工作時,油箱中有油30L,每小時耗油5L.
(1)寫出油箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系;
(2)求出自變量t的取值范圍;
(3)畫出函數(shù)圖象;
(4)根據(jù)圖象回答拖拉機(jī)工作2小時后,油箱余油是多少?若余油10L,拖拉機(jī)工作了幾個小時?

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8.在求1+4+42+43+44+45+46+47的值時,小聰發(fā)現(xiàn):從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的4倍,于是他設(shè):x=1+4+42+43+44+45+46+47①,然后在①式的兩邊都乘以4,得:4x=4+42+43+44+45+46+47+48②,②-①得:4x-x=48-1,即3x=48-1,從而得到x=$\frac{{{4^8}-1}}{3}$.
探索:若把“4”換成字母a(a≠0且a≠1),則計算1+a+a2+a3+a4+…+a2017=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$.

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15.菱形ABCD在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,$\sqrt{3}$),動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D→A→B→…的路徑,在菱形的邊上以每秒1個單位長度的速度移動,移動到第2015秒時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為( $\frac{3}{4}$,-$\frac{\sqrt{3}}{4}$).

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5.若|x-2|+|x+2y-6|=0,則x=2,y=2.

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12.已知拋物線y=ax2-4ax+3與x軸交于A(1,0),B,與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸下方的拋物線上有一點(diǎn)P,滿足tan∠BCP=$\frac{1}{5}$,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在拋物線的對稱軸上有點(diǎn)Q,存在以點(diǎn)Q為圓心,同時與直線BC和x軸都相切的圓,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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9.一個兩位數(shù)是A,它的個位數(shù)字是x(x≠0),十位數(shù)字是y;若將個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào),得到另一個兩位數(shù)字B,猜想A-B能被哪個正整數(shù)整除,并說明你的理由.

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19.在等腰 Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=2,D是BC邊上的點(diǎn)且BD=$\frac{1}{3}$CD,連接AD.AD⊥AE,AE=AD,連接BE.下列結(jié)論:
①△ADC≌△AEB;
②BE⊥CB;
③點(diǎn)B到直線AD的距離為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$;
④四邊形AEBC的周長是$\frac{{7\sqrt{2}+\sqrt{10}}}{2}+2$;
⑤S四邊形ADBE=2.
其中正確的有(  )
A.2個B.3個C.4個D.5個

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同步練習(xí)冊答案
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