Question

8．在求1+4+4²+4³+4⁴+4⁵+4⁶+4⁷的值時(shí)，小聰發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的4倍，于是他設(shè)：x=1+4+4²+4³+4⁴+4⁵+4⁶+4⁷①，然后在①式的兩邊都乘以4，得：4x=4+4²+4³+4⁴+4⁵+4⁶+4⁷+4⁸②，②-①得：4x-x=4⁸-1，即3x=4⁸-1，從而得到x=$\frac{{{4^8}-1}}{3}$．
探索：若把“4”換成字母a（a≠0且a≠1），則計(jì)算1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁷=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$．

Answer 1

分析 依照題意設(shè)設(shè)S=1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷值，然后在其兩邊同乘以a得aS=a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷+a²⁰¹⁸，再求出兩式的差變形即可．

解答 解：設(shè)S=1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷…①
∵a≠0
∴aS=a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷+a²⁰¹⁸…②
②-①得：（a-1）S=a²⁰¹⁸-1
∵a≠1
∴S=$\frac{{a}^{2018}-1}{a-1}$
即：1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$，
故答案為：$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律、有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題目中所體現(xiàn)的一種解題方法與思路，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力．