Question

12．已知拋物線y=ax²-4ax+3與x軸交于A（1，0），B，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸下方的拋物線上有一點P，滿足tan∠BCP=$\frac{1}{5}$，求點P的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上有點Q，存在以點Q為圓心，同時與直線BC和x軸都相切的圓，直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標代入拋物線的解析式中求出a的值即可
（2）先求出A、B、C的坐標，可知OB=OC，從而可知∠OCB=∠CBO=45°，設直線CP與x軸交于D，過點D作DE⊥BC于點E，設DE=x，根據勾股定理求出x的值，從而可知D的坐標，然后求出直線CP的解析式，聯立直線CP與拋物線的解析式即可求出P的坐標．
（3）由題意可知：點Q在∠CBO的角平分線上或在∠CBO外角的平分線上，設QD=m，利用勾股定理即可求出m的值，從而可求出Q的坐標．

解答 解：（1）將A（1，0）代入拋物線解析式中，
∴0=a-4a+3，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3，
（2）設CP與x軸交于點D，
過點D作DE⊥BC于點E，
設DE=x，
令y=0代入y=x²-4x+3，
∴解得：x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
令x=0代入y=x²-4x+3，
∴y=3，
∴C（0，3）
∴OC=3，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
∴由勾股定理可知：BC=3$\sqrt{2}$，
∵tan∠BCP=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{5}$，
∴CE=5x，
∴BE=BC-CE=3$\sqrt{2}$-5x，
∵∠CBO=45°，
∴DE=EB，
∴x=3$\sqrt{2}$-5x，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由勾股定理可知：BD=$\sqrt{2}$DE=1，
∴OD=OB-BD=2，
∴D（2，0）
設直線CP的解析式為：y=kx+b，
把C（0，3）和D（2，0）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴直線CP的解析式為：y=-$\frac{3}{2}$x+3
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$
∴P的坐標為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$）
（3）存在以點Q為圓心，同時與直線BC和x軸都相切的圓
由（1）可知：拋物線的對稱軸為x=2，
∵⊙Q與直線BC和x軸都相切，
∴Q到直線BC與x軸的距離相等，
當點Q在∠CBO的角平分線上時，
即∠CBO的角平分線與對稱軸x=2交于點Q，
設∠CBO的角平分線與y軸交于點F，過點F作FG⊥BC于點G，
設QD=m，
∵QD∥y軸，
∴△BQD∽△BFO
∴$\frac{QD}{OF}=\frac{BD}{OB}$，
∴OF=3m，
∴CF=OC-OF=3-3m，
∵BF平分∠CBO，
∴OF=FG=3m，
∵∠OCB=45°，
∴CF=$\sqrt{2}$FG，
∴3-3m=3$\sqrt{2}$m，
m=$\sqrt{2}$-1
∴Q（2，$\sqrt{2}$-1）．
當點Q在∠CBO的外角的角平分線上時，
過點Q作QF⊥BC于點F，交x軸于點G，
由角平分線的性質可知：DB=BF=1，
∵∠FBG=∠CBO=45°，
∴由勾股定理可知：BG=$\sqrt{2}$，
∴DG=BD+BG=1+$\sqrt{2}$，
∵∠BGF=∠GBF=45°，
∴QD=DG=1+$\sqrt{2}$，
∴Q（2，-$\sqrt{2}$-1）
綜上所述：Q（2，$\sqrt{2}$-1）或（2，-$\sqrt{2}$-1）

點評 本題考查二次函數的綜合問題，涉及相似三角形的判定與性質，角平分線的性質，解方程，勾股定理，待定系數法求解析式等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所學知識．