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1.如圖ABC中,AB=AC,⊙O為△ABC的外接圍,D為⊙O外一點,∠DCA=∠ACB.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)連接OD,若OD⊥AC,當AB=4$\sqrt{5}$,sin∠BAC=$\frac{4}{5}$時,求OD的長.

分析 (1)如圖1中,連接OA、OC,延長AO交BC于E,欲證明CD是⊙O的切線,只要證明∠OCD=90°即可.
(2)如圖2中,連接AD,OA、OC、作CM⊥AD于M,AC與OD交于點N,首先證明∠BAC=∠ADC,推出sin∠BAC=sin∠ADC=$\frac{4}{5}$=$\frac{CM}{CD}$,設CM=4k,CD=AD=5k,則DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=3k,AM=2k,在Rt△ACM中,由AC2=CM2+AM2,可得80=16k2+4k2,解得k=2,推出AD=CD=10,AM=4,DM=6,在Rt△ADN中,DN=$\sqrt{A{D}^{2}-A{N}^{2}}$=4$\sqrt{5}$,由△OCD∽△CND,可得$\frac{OD}{CD}$=$\frac{CD}{DN}$,延長即可解決問題.

解答 (1)證明:如圖1中,連接OA、OC,延長AO交BC于E.

∵AB=AC,
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$,
∴AE⊥BC,
∠BAE=∠CAE,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠OAC+∠ACE=90°,∠ACD=∠ACB,
∴∠OCA+∠ACD=90°,
∴∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切線.

(2)解:如圖2中,連接AD,OA、OC、作CM⊥AD于M,AC與OD交于點N.

∵OD⊥AC,
∴NA=NC,
∴DA=DC,∠ADO=∠ODC,
∵∠OCA+∠DCN=90°,∠DCN+∠CDO=90°,
∴∠OCA=∠OAC=∠CDO,
∵∠BAC=2∠OAC,∠ADC=2∠CDO,
∴∠BAC=∠ADC,
∴sin∠BAC=sin∠ADC=$\frac{4}{5}$=$\frac{CM}{CD}$,
設CM=4k,CD=AD=5k,則DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=3k,AM=2k,
在Rt△ACM中,∵AC2=CM2+AM2,
∴80=16k2+4k2
∴k=2,
∴AD=CD=10,AM=4,DM=6,
在Rt△ADN中,DN=$\sqrt{A{D}^{2}-A{N}^{2}}$=4$\sqrt{5}$,
∵△OCD∽△CND,
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{CD}{DN}$,
∴$\frac{OD}{10}$=$\frac{10}{4\sqrt{5}}$,
∴OD=5$\sqrt{5}$.

點評 本題考查切線的判定和性質、垂徑定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,學會利用參數構建方程解決問題,屬于中考?碱}型.

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