Question

19．如圖所示，在△ABC=90°，AC=5cm，BC=12cm，將△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F．
（1）求∠ABE的度數；
（2）求DC的長；
（3）求△ACF與△BDF的周長之和是多少？

Answer 1

分析 （1）根據旋轉角的定義進行解答；
（2）根據旋轉的性質得到∠CBD=60°，BC=BD，然后根據等邊三角形的判定方法判斷△BCD是等邊三角形，則等邊三角形的三條邊相等；
（3）先根據勾股定理計算出AB=13cm，再利用三角形周長定義得到△ACF與△BDF的周長之和=AC+CD+AB+BD，接著由△BCD為等邊三角形得到CD=BC=BD=12，于是計算出△ACF與△BDF的周長之和．

解答 解：（1）如圖，∵將△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，
∴∠ABE=60°；

（2）∵△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，
∴∠CBD=60°，BC=BD=12cm，
∴△BCD為等邊三角形，
∴DC=BC=12cm；

（3）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13（cm），
∵△ACF與△BDF的周長之和=AC+CF+AF+DF+BD+BF=AC+CD+AB+BD，
∵△BCD為等邊三角形，
∴CD=BC=BD=12，
∴△ACF與△BDF的周長之和=5+12+13+12=42（cm）．

點評 本題考查了三角形綜合題，需要掌握旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．還需要熟悉勾股定理的應用，難度不大．