Question

18．如圖，在直角坐標系中，△ABC的頂點A（-2，0），B（2，4），C（4，0）．
（1）求△ABC的面積；
（2）點D為y軸負半軸上一動點，連接BD交x軸于點E，是否存在點D使得S_△ADE=S_△BCE？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點A、B、C為平行四邊形的三個頂點，試寫出第四個頂點P的坐標，你的答案唯一嗎？
（4）求出（3）中平行四邊形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面積公式計算即可；
（2）設出點D坐標，進而得出點E坐標，表示出AE，CE，最后用三角形的面積公式建立方程求解即可；
（3）由平行四邊形的性質即可得出結論；
（4）平行四邊形的面積等于一條對角線將它分成的兩個三角形中一個的2倍即可．

解答 解：（1）如圖1，過點B作BH⊥AC于D，
∵A（-2，0），B（2，4），C（4，0），
∴AC=6，BH=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BH=$\frac{1}{2}$×6×4=12，


（2）如圖2，設D（0，b），
∵B（2，4），
∴直線BD的解析式為y=$\frac{4-b}{2}$x+b，
∴E（$\frac{2b}{b-4}$，0），
∴AE=$\frac{2b}{b-4}$+2，CE=4-$\frac{2b}{b-4}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE×OD=$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{b-4}$+2）×（-b），
S_△BCE=$\frac{1}{2}$CE×|y_B|=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2b}{b-4}$）×4，
∵S_△ADE=S_△BCE，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{b-4}$+2）×（-b）=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2b}{b-4}$）×4，
∴b=4（舍）或b=-4，
∴D（0，-4）；

（3）答案不唯一，
理由：如圖3，
Ⅰ、以AC為邊時，過點B作BP₁∥AC，
∵B（2，4），
∴直線BP₁的解析式為y=4，
∵BP₁∥AC，BP₁=BP₂=AC=6，
∴P₁（8，4），P₂（-4，4），
Ⅱ、當AC為對角線時，BP₃與AC互相平分，
設P₃（m，n），
∴m+2=2，n+4=0，
∴m=0，n=-4，
∴P₃（0，-4），
即：滿足條件的點P（-4，4），（0，-4），（8，4）；
（4）由平行四邊形的性質得，S_{平行四邊形}=2S_△ABC=24．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，平行四邊形的性質，待定系數法；解（2）的關鍵是用面積相等建立方程，解（3）的關鍵是利用平行四邊形的對邊平行和相等求出點P坐標．