Question

7．如圖1，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OABC的頂點B在y軸的正半軸上，O為坐標原點．現將正方形OABC繞點O按順時針方向旋轉，旋轉角為θ（0^o≤θ≤45^o）．
（1）當點A落到y軸正半軸上時，求邊BC在旋轉過程中所掃過的面積；
（2）若線段AB與y軸的交點為M（如圖2），線段BC與直線y=x的交點為N．當θ=22.5°時，求此時△BMN內切圓的半徑；
（3）設△MNB的周長為l，試判斷在正方形OABC旋轉的過程中l值是否發生變化，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意當點A落到y軸正半軸上時，邊BC在旋轉過程中所掃過的面積=S_扇形OBB′+S_△OCB′-S_△OBC-S_扇形OCC′由此計算即可．
（2）如圖2中，在OA取一點E，使得EM=EO，首先證明△AEM是等腰直角三角形，推出AM=AE，設AE=AM=x，則EM=EO=$\sqrt{2}$x，可得x+$\sqrt{2}$x=1，解得x=$\sqrt{2}$-1，推出BM=AB-AM=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，同理可得BN=2-$\sqrt{2}$，推出MN=$\sqrt{2}$BM=2$\sqrt{2}$-2，設△BMN的內切圓的半徑為r，則有$\frac{1}{2}$（MN+BM+BN）•r=$\frac{1}{2}$BM•BN，由此求出r即可解決問題．
（3）在正方形OABC旋轉的過程中l值不發生變化．如圖3中，延長BA到E使得AE=CN．只要證明△OAE≌△OCN，推出OE=ON，∠AOE=∠CON，再證明△MOA≌△MON，推出EM=MN，推出△BNM的周長=MN+BM+BN=EM+BM+BN=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2．

解答 解：（1）如圖1中，

由題意當點A落到y軸正半軸上時，邊BC在旋轉過程中所掃過的面積=S_扇形OBB′+S_△OCB′-S_△OBC-S_扇形OCC′
=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′
=$\frac{45•π•（\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{45•π•{1}^{2}}{360}$
=$\frac{π}{8}$．

（2）如圖2中，在OA取一點E，使得EM=EO，

∵∠AOM=22.5°，
∴∠EOM=∠EMO=22.5°，
∴∠AEM=∠EOM+∠EMO=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AM=AE，設AE=AM=x，則EM=EO=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=1，
∴x=$\sqrt{2}$-1，
∴BM=AB-AM=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，同理可得BN=2-$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{2}$BM=2$\sqrt{2}$-2，
設△BMN的內切圓的半徑為r，
則有$\frac{1}{2}$（MN+BM+BN）•r=$\frac{1}{2}$BM•BN，
∴r=$\frac{BM•BN}{MN+BM+BN}$=$\frac{（2-\sqrt{2}）^{2}}{2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}+2-\sqrt{2}}$=3-2$\sqrt{2}$．

（3）在正方形OABC旋轉的過程中l值不發生變化．
理由：如圖3中，延長BA到E使得AE=CN．

∵AE=CN，∠OAE=∠OCN=90°，OA=OC，
∴△OAE≌△OCN，
∴OE=ON，∠AOE=∠CON，
∵∠MON=45°，
∴∠MOA+∠CON=∠MOA+∠AOE=45°，
∴∠MOE=∠MON，∵OM=OM，
∴△MOA≌△MON，
∴EM=MN，
∴△BNM的周長=MN+BM+BN=EM+BM+BN
=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2，
∴△BNM的周長為定值．

點評 本題考查圓綜合題、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形的內切圓、等腰直角三角形的性質和判定、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．