Question

3．已知：AB∥CD，平面內(nèi)有一點(diǎn)E，連接AE、CE
（1）如圖1，求證：∠E=∠A+∠C；
（2）如圖2，CD上有一點(diǎn)F，連接AF、EF，若∠FAE=∠FEA，∠EFD=2∠C，求證：∠AFC=2∠AEC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)有一點(diǎn)G，連接AG、CG，若∠GCE與∠GAE互為補(bǔ)角，5∠AFC=2∠G，求∠G的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，進(jìn)而得到∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C；
（2）設(shè)∠BAE=α，∠DCE=β，由（1）可得，∠AEC=∠BAE+∠C=α+β，根據(jù)角的和差關(guān)系可得，∠BAF=∠EAF+∠BAE=α+2β+α=2（α+β），最后根據(jù)∠AFC=∠BAF=2（α+β），可得∠AFC=2∠AEC；
（3）設(shè)∠G=α，根據(jù)5∠AFC=2∠G，可得∠AFC=$\frac{2}{5}$α，再根據(jù)∠AFC=2∠AEC，可得∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AFC=$\frac{1}{5}$α，最后根據(jù)四邊形AECG中，∠GCE與∠GAE互為補(bǔ)角，可得∠G+∠AEC=180°，據(jù)此可得方程α+$\frac{1}{5}$α=180°，求得∠G的度數(shù)為150°．

解答 解：（1）如圖，過(guò)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥CD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C；

（2）設(shè)∠BAE=α，∠DCE=β，則
由（1）可得，∠AEC=∠BAE+∠C=α+β，
∵∠EFD=2∠C，∠EFD=∠C+∠CEF，
∴∠C=∠CEF=β，
∴∠AEF=α+2β，
又∵∠FAE=∠FEA，
∴∠FAE=α+2β，
∴∠BAF=∠EAF+∠BAE=α+2β+α=2（α+β），
又∵AB∥CD，
∴∠AFC=∠BAF=2（α+β），
∴∠AFC=2∠AEC；

（3）設(shè)∠G=α，
根據(jù)5∠AFC=2∠G，可得∠AFC=$\frac{2}{5}$α，
又∵∠AFC=2∠AEC，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AFC=$\frac{1}{5}$α，
∵四邊形AECG中，∠GCE與∠GAE互為補(bǔ)角，
∴∠G+∠AEC=180°，
即α+$\frac{1}{5}$α=180°，
∴α=150°，
即∠G的度數(shù)為150°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．