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4.如圖,同心⊙O中,大圓弦AB與小圓交于點M、N.
(1)求證:AM=BN;
(2)若AB=8,MN=4,且大圓半徑為5,求小圓的半徑.

分析 (1)過O作OE⊥AB,根據垂徑定理得到AE=BE,ME=NE,從而得到AM=BN;
(2)由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥NM,連接OM,OA,再根據勾股定理求出OE及OM的長即可.

解答 解:(1)如圖1所示:過點E作OE⊥AB,垂足為E.

              圖1
∵OA⊥AB,
∴AE=BE,ME=NE.
∴AE-ME=EB-NE,即AM=NB.
(2)如圖2所示:

            圖2
∵AE=BE,AB=8,
∴AE=4.
又∵AO=5,
∴OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=3.
∵ME=NE,MN=4,
∴ME=2.
∴OM=$\sqrt{O{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$.

點評 本題考查的是垂徑定理,根據題意作出輔助線,構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

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