Question

4．如圖，同心⊙O中，大圓弦AB與小圓交于點M、N．
（1）求證：AM=BN；
（2）若AB=8，MN=4，且大圓半徑為5，求小圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）過O作OE⊥AB，根據垂徑定理得到AE=BE，ME=NE，從而得到AM=BN；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥NM，連接OM，OA，再根據勾股定理求出OE及OM的長即可．

解答 解：（1）如圖1所示：過點E作OE⊥AB，垂足為E．

              圖1
∵OA⊥AB，
∴AE=BE，ME=NE．
∴AE-ME=EB-NE，即AM=NB．
（2）如圖2所示：

            圖2
∵AE=BE，AB=8，
∴AE=4．
又∵AO=5，
∴OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=3．
∵ME=NE，MN=4，
∴ME=2．
∴OM=$\sqrt{O{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

點評 本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．