Question

9．如圖，O為矩形ABCD對角線的交點，M為AB邊上任一點，射線ON⊥OM于點O，且與BC邊交于點N，若AB=4，AD=6，則四邊形OMBN面積的最大值為$\frac{23}{3}$．

Answer 1

分析 過點O作OE⊥AB于點E，作OF⊥BC于點F，易證得△FOM∽△EON，然后由相似三角形性質可得出$\frac{{S}_{△OEM}}{{S}_{△OFN}}$=$\frac{9}{4}$，分點M在點E的兩側考慮，利用分割圖形求面積法找出S_{四邊形OMBN}關于x的一次函數關系式，根據一次函數的性質即可解決最值問題．

解答 解：過點O作OE⊥AB于點E，作OF⊥BC于點F，如圖所示．
∵四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=6，
∴OE=3，OF=2，OE⊥OF，
∴∠EOM+∠FOM=90°，
∵∠FON+∠FOM=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠OEM=∠OFN=90°，
∴△FON∽△EOM，
∴OM：ON=OE：OF=3：2，
∴$\frac{{S}_{△OEM}}{{S}_{△OFN}}$=$\frac{9}{4}$．
當點E在線段BE上、點N在線段CF上時，設ME=x（0≤x＜2），則FN=$\frac{2}{3}$x，
∴S_{四邊形OMBN}=S_矩形EBFO-S_△EOM+S_△FON=2×3-$\frac{1}{2}$×3x+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$x=-$\frac{5}{6}$x+6，
∴當x=0時，S_{四邊形OMBN}取最大值，最大值為6；
當點E在線段AE上、點N在線段BF上時，設ME=x（0≤x≤2），則FN=$\frac{2}{3}$x，
∴S_{四邊形OMBN}=S_矩形EBFO+S_△EOM-S_△FON=2×3+$\frac{1}{2}$×3x-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$x=$\frac{5}{6}$x+6，
∴當x=2時，S_{四邊形OMBN}取最大值，最大值為$\frac{23}{3}$．
故答案為：$\frac{23}{3}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及一次函數的性質，利用分割圖形求面積法找出S_{四邊形OMBN}=±$\frac{5}{6}$x+6是解題的關鍵．