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9.如圖,O為矩形ABCD對角線的交點,M為AB邊上任一點,射線ON⊥OM于點O,且與BC邊交于點N,若AB=4,AD=6,則四邊形OMBN面積的最大值為$\frac{23}{3}$.

分析 過點O作OE⊥AB于點E,作OF⊥BC于點F,易證得△FOM∽△EON,然后由相似三角形性質可得出$\frac{{S}_{△OEM}}{{S}_{△OFN}}$=$\frac{9}{4}$,分點M在點E的兩側考慮,利用分割圖形求面積法找出S四邊形OMBN關于x的一次函數關系式,根據一次函數的性質即可解決最值問題.

解答 解:過點O作OE⊥AB于點E,作OF⊥BC于點F,如圖所示.
∵四邊形ABCD為矩形,AB=4,AD=6,
∴OE=3,OF=2,OE⊥OF,
∴∠EOM+∠FOM=90°,
∵∠FON+∠FOM=90°,
∴∠EOM=∠FON.
∵∠OEM=∠OFN=90°,
∴△FON∽△EOM,
∴OM:ON=OE:OF=3:2,
∴$\frac{{S}_{△OEM}}{{S}_{△OFN}}$=$\frac{9}{4}$.
當點E在線段BE上、點N在線段CF上時,設ME=x(0≤x<2),則FN=$\frac{2}{3}$x,
∴S四邊形OMBN=S矩形EBFO-S△EOM+S△FON=2×3-$\frac{1}{2}$×3x+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$x=-$\frac{5}{6}$x+6,
∴當x=0時,S四邊形OMBN取最大值,最大值為6;
當點E在線段AE上、點N在線段BF上時,設ME=x(0≤x≤2),則FN=$\frac{2}{3}$x,
∴S四邊形OMBN=S矩形EBFO+S△EOM-S△FON=2×3+$\frac{1}{2}$×3x-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$x=$\frac{5}{6}$x+6,
∴當x=2時,S四邊形OMBN取最大值,最大值為$\frac{23}{3}$.
故答案為:$\frac{23}{3}$.

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及一次函數的性質,利用分割圖形求面積法找出S四邊形OMBN=±$\frac{5}{6}$x+6是解題的關鍵.

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