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4.以AD為直徑作⊙O,F是半圓弧$\widehat{AD}$上中點,E是半圓弧$\widehat{AD}$上一點,EA=8,ED=6,連接EF交AD于點G,求tan∠AGF的值.

分析 連接AF,FG,過E作EH⊥AD于H,由AD為⊙O的直徑得到∠AED=90°,根據勾股定理得到AD=10,根據三角形的面積公式得到EH=$\frac{AE•DE}{AD}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$,求得DH=$\frac{18}{5}$,OH=$\frac{7}{5}$,根據平行線分線段成比例定理得到$\frac{OG}{HG}=\frac{OF}{EH}$=$\frac{5}{\frac{24}{5}}$=$\frac{25}{24}$,求得OG=$\frac{5}{7}$,根據三角函數的定義即可得到結論.

解答 解:連接AF,FG,過E作EH⊥AD于H,
∵AD為⊙O的直徑,
∴∠AED=90°,
∵EA=8,ED=6,
∴AD=10,
∴AO=OD=OF=5,EH=$\frac{AE•DE}{AD}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$,
∵DE2=DH•AD,
∴DH=$\frac{18}{5}$,
∴OH=$\frac{7}{5}$,
F是半圓弧$\widehat{AD}$上中點,
∴$\widehat{AF}=\widehat{DF}$,
∴OF⊥AD,
∴OF∥EH,
∴△FOG∽△EHG,
∴$\frac{OG}{HG}=\frac{OF}{EH}$=$\frac{5}{\frac{24}{5}}$=$\frac{25}{24}$,
∴OG=$\frac{5}{7}$,
∴tan∠AGF=$\frac{OF}{OG}$=$\frac{5}{\frac{5}{7}}$=7.

點評 本題考查了圓周角定理,相似三角形的判定和性質,射影定理,正確的作出輔助線是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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