Question

4．以AD為直徑作⊙O，F是半圓弧$\widehat{AD}$上中點，E是半圓弧$\widehat{AD}$上一點，EA=8，ED=6，連接EF交AD于點G，求tan∠AGF的值．

Answer 1

分析 連接AF，FG，過E作EH⊥AD于H，由AD為⊙O的直徑得到∠AED=90°，根據勾股定理得到AD=10，根據三角形的面積公式得到EH=$\frac{AE•DE}{AD}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$，求得DH=$\frac{18}{5}$，OH=$\frac{7}{5}$，根據平行線分線段成比例定理得到$\frac{OG}{HG}=\frac{OF}{EH}$=$\frac{5}{\frac{24}{5}}$=$\frac{25}{24}$，求得OG=$\frac{5}{7}$，根據三角函數的定義即可得到結論．

解答 解：連接AF，FG，過E作EH⊥AD于H，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
∵EA=8，ED=6，
∴AD=10，
∴AO=OD=OF=5，EH=$\frac{AE•DE}{AD}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∵DE²=DH•AD，
∴DH=$\frac{18}{5}$，
∴OH=$\frac{7}{5}$，
F是半圓弧$\widehat{AD}$上中點，
∴$\widehat{AF}=\widehat{DF}$，
∴OF⊥AD，
∴OF∥EH，
∴△FOG∽△EHG，
∴$\frac{OG}{HG}=\frac{OF}{EH}$=$\frac{5}{\frac{24}{5}}$=$\frac{25}{24}$，
∴OG=$\frac{5}{7}$，
∴tan∠AGF=$\frac{OF}{OG}$=$\frac{5}{\frac{5}{7}}$=7．

點評 本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，射影定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．