Question

19．你能比較兩個數2013²⁰¹⁴與2014²⁰¹³的大小嗎為了解決這個問題，我們先把它抽象成這樣的問題：寫成它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（即是自然數）．然后，我們分析n=1，n=2，n=3…這些簡單情形入手，從而發現規律，經過歸納，才想出結論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數的大小
①1²＜2¹  ②2³＜3²    ③3⁴＞4³    ④4⁵＞5⁴  ⑤5⁶＞6⁵  
（2）從第（1）題的結果經過歸納，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{n+1}{＜（n+1）}^{n}（n=1，2）}\\{{n}^{n+1}{＞（n+1）}^{n}（n≥3）}\end{array}\right.$；
（3）根據下面歸納猜想得到的一般結論，試比較2013²⁰¹⁴與2014²⁰¹³的兩個數的大小．

Answer 1

分析 （1）首先求出每組中兩個數的值各是多少，然后根據有理數大小比較的方法，比較出每組中兩個數的大小即可．
（2）從第（1）題的結果經過歸納，猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系即可．
（3）根據歸納猜想得到的一般結論，比較出2013²⁰¹⁴與2014²⁰¹³的兩個數的大小即可．

解答 解：（1）①1²=1，2¹=2，
∵1＜2，
∴1²＜2¹．

②2³=8，3²=9，
∵8＜9，
∴2³＜3²．

③3⁴=81，4³=64，
∵81＞64，
∴3⁴＞4³．

④4⁵=1024，5⁴=625，
∵1024＞625，
∴4⁵＞5⁴．

⑤5⁶=15625，6⁵=7776，
∵15625＞7776，
∴5⁶＞6⁵．

（2）從第（1）題的結果經過歸納，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{n+1}{＜（n+1）}^{n}（n=1，2）}\\{{n}^{n+1}{＞（n+1）}^{n}（n≥3）}\end{array}\right.$．

（3）∵2013＜2014，
∴2013²⁰¹⁴＞2014²⁰¹³．
故答案為：＜、＜、＞、＞、＞、$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{n+1}{＜（n+1）}^{n}（n=1，2）}\\{{n}^{n+1}{＞（n+1）}^{n}（n≥3）}\end{array}\right.$．

點評 此題主要考查了有理數大小比較的方法，以及探尋數列規律問題，認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法．