Question

14．如圖△ABG中，∠ABG=90°，以AB為直徑作⊙O交于D點(diǎn)，D是弧BC的中點(diǎn)，過(guò)D作AC的垂線(xiàn)，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交BG于F．
（1）求證：BF=GF；
（2）連接BC交AG于H，若2BH=3CH，求tan∠G的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠1=∠2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠2=∠3，等量代換得到∠1=∠3，推出AE∥OD，得到∠ODF=∠E=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠4=∠5=$\frac{1}{2}$∠DOB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠2=$\frac{1}{2}∠$DOB，推出AD∥OF，根據(jù)平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理得到結(jié)論；
（2）連接BD，OD交BC于P，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠5=∠DHP，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠5=∠G，得到BG=BH=3m，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AD：DG=5：1，設(shè)AD=5k，DG=k，根據(jù)射影定理得到BD²=AD•DG=5k²，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵D是弧BC的中點(diǎn)，
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥OD，
∴∠ODF=∠E=90°，
在Rt△DOF與Rt△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DOF≌Rt△OBF，
∴∠4=∠5=$\frac{1}{2}$∠DOB，
∵∠DOB=∠2+∠3，
∴∠2=$\frac{1}{2}∠$DOB，
∴∠2=∠5，
∴AD∥OF，
∵AO=BO，
∴BF=FG；
（2）連接BD，OD交BC于P，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BC⊥AE，BD⊥AG，
∴BC∥EF，
∴∠5=∠DHP，
∵∠1+∠5=∠G+∠2=90°，
∴∠5=∠G，
∵∠5=∠6，
∴G=∠DHP，
∴BG=BH=3m，
∵△AED∽△ABG，
∴$\frac{AD}{AG}=\frac{DE}{BG}$=$\frac{5}{6}$，
∴AD：DG=5：1，
設(shè)AD=5k，DG=k，
∴BD²=AD•DG=5k²，
∴BD=$\sqrt{5}$k，
∴tan∠G=$\frac{BD}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}k}{k}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．