Question

3．如圖，正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點E、G，連結GF，給出下列結論：
①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S_△AGD=S_△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S_△OGF=1，則正方形ABCD的面積是6+4$\sqrt{2}$
其中正確有①④⑤．

Answer 1

分析 ①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折疊的性質，可求得∠ADG的度數；
②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，在用銳角三角函數即可判斷；
③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面積＞△OGD的面積；
④由折疊的性質與平行線的性質，易得△EFG是等腰三角形，即可證得AE=GF；
⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質，即可得BE=2OG；
⑥根據四邊形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF時等腰直角三角形，由S_△OGF=1求出GF的長，進而可得出BE及AE的長，利用正方形的面積公式可得出結論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折疊的性質可得：∠ADG=$\frac{1}{2}$∠ADO=22.5°，故①正確．
∵由折疊的性質可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AD}{AE}$＞2，
在Rt△ADE中，tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$＞2，故②錯誤．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
∴S_△AGD＞S_△OGD，故③錯誤．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四邊形AEFG是菱形，故④正確．
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF=$\sqrt{2}$OG，
∴BE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$OG=2OG．故⑤正確．
∵四邊形AEFG是菱形，
∴AB∥GF，AB=GF．
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，
∴△OGF時等腰直角三角形．
∵S_△OGF=1，
∴$\frac{1}{2}$OG²=1，解得OG=$\sqrt{2}$，
∴BE=2OG=2$\sqrt{2}$，GF=$\sqrt{2+2}$═2，
∴AE=GF=2，
∴AB=BE+AE=2$\sqrt{2}$+2，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=（2$\sqrt{2}$+2）²=12+8$\sqrt{2}$，故⑥錯誤．
∴其中正確結論的序號是：①④⑤共三個．
故答案為①④⑤．

點評 此題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質、折疊的性質、等腰直角三角形的性質以及菱形的判定與性質、銳角三角函數等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用．