Question

12．如圖，在菱形ABCD的邊上依次取點E，F，G，H，使AE=AH=CF=CG，若菱長邊長是1，∠A=120°，
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）設AE=x，四邊形EFGH的面積是y，求y與x的函數關系式；
（3）當x為何值時，四邊形EFGH是正方形？

Answer 1

分析 （1）首先利用菱形的性質得到∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA，然后根據AE=AH=CF=CG，得到BE=BF=DH=DG，從而證得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，證得四邊形EFGH是平行四邊形，然后利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定四邊形EFGH是矩形；
（2）先求出AC=1，再求出BE=1-x，再用三角函數得出PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x進而得出EH=$\sqrt{3}$x，最后用矩形的面積公式即可得出結論；
（3）由（2）EH=$\sqrt{3}$x，EF=1-x，再用正方形的性質即可建立方程求出x值即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA
∵AE=AH=CF=CG，
∴BE=BF=DH=DG，
∴△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，
∴EH=FG，EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵∠A+∠D=180°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH是矩形；

（2）解：如圖，連接AC，交EH，FG于P，Q，連接BD交EF，HG于M，N，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAC=120°，
∴∠ABC=60°，
∴AC=AB=1，
由（1）知，四邊形EFGH是矩形，
∴EF∥AC，
∴EF=BE=AB-AE=1-x，
在Rt△APE中，∠PAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°，
∴sin∠PAE=$\frac{PE}{AE}$，
∴PE=AEsin∠PAE=x•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴EH=2PE=$\sqrt{3}$x，
∴四邊形EFGH的面積是y=EF•EH=（1-x）•$\sqrt{3}$x=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x，（0＜x＜1）；

（3）解：由（2）知，EH=$\sqrt{3}$x，EF=1-x，
∵矩形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∴$\sqrt{3}$x=1-x，
∴x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，矩形的判定，正方形的性質，解（1）的關鍵先判斷四邊形EFGH是平行四邊形，解（2）的關鍵是用x表示EF和
EH，解（3）的關鍵是掌握正方形的性質，是一道中等難度的題目．