Question

17．已知，如圖，拋物線y=-x²+bx+c經過直線y=-x+3與坐標軸的兩個交點A，B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點M為拋物線上一動點，是否存在點M，使△ACM與△ABC的面積相等？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在x軸上是否存在點N使△ADN為直角三角形？若存在，確定點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點A和點B的坐標，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式求得b，c的值即可；
（2）設M的坐標為（x，y），由△ACM與△ABC的面積相等可得到|y|=3，將y=3或y=-3代入拋物線的解析式求得對應的x的值，從而得到點M的坐標；
（3）先利用配方法求得點D的坐標，當∠DNA=90°時，DN⊥OA，可得到點N的坐標，從而得到AN=2，然后再求得AD的長；當∠N′DA=90°時，依據sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的長，從而可得到N′的解析式．

解答 解：（1）將x=0代入AB的解析式得：y=3，
∴B（0，3）．
將y=0代入AB的解析式得：-x+3=0，解得x=3，
A（3，0）．
將點A和點B的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=3．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）設M的坐標為（x，y）．
∵△ACM與△ABC的面積相等，
∴$\frac{1}{2}$AC•|y|=$\frac{1}{2}$AB•OB．
∴|y|=OB=3．
當y=3時，-x²+2x+3=3，解得x=0（舍去）或x=2，
∴M（2，3）．
當y=-3時，-x²+2x+3=3，解得：x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$．
∴M（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．
綜上所述點M的坐標為（2，3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．

（3）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
①當∠DNA=90°時，如圖所示：

∵∠DNA=90°時，
∴DN⊥OA．
又∵D（1，4）
∴B（1，0）．
∴AN=2．
∵DN=4，AN=2，
∴AD=2$\sqrt{5}$．
②當∠N′DA=90°時，則DN′A=∠NDA．
∴$\frac{AD}{AN′}$=$\frac{AN}{AD}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{AN′}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得：AN′=10．
∵A（3，0），
∴N′（-7，0）．
綜上所述點N的坐標為（1，0）或（-7，0）．

點評 本題主要考查的是二次函數的應用，求得點A和點B的坐標是解答問題（1）的關鍵，求得點M的縱坐標是解答問題（2）的關鍵，求得AN′的長是解答問題（3）的關鍵．