Question

2．已知關于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+2=0
（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；
（2）若方程兩實數根分別為x₁、x₂，且滿足x₁²+x₂²=10，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）根據方程的系數結合根的判別式即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出結論；
（2）根據根與系數的關系即可得出x₁+x₂=2（m+1）、x₁•x₂=m²+2，結合x₁²+x₂²=10即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結合（1）的結論即可得出結論．

解答 解：（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²+2=0有實數根，
∴△=[-2（m+1）]²-4（m²+2）=8m-4≥0，
解得：m≥$\frac{1}{2}$．
（2）∵方程x²-2（m+1）x+m²+2=0的兩實數根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²+2，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=[2（m+1）]²-2（m²+2）=2m²+8m=10，
解得：m₁=-5（舍去），m₂=1．
∴實數m的值為1．

點評 本題考查了根的判別式、根與系數的關系、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）根據方程解的情況找出關于m的一元一次不等式；（2）根據根與系數的關系結合x₁²+x₂²=10找出關于m的一元二次方程．