Question

14．如圖，直線y=-x+2與過原點的拋物線交于A，B兩點，且拋物線的頂點C的坐標為（1，-1）．
（1）求拋物線的函數表達式及B點的坐標；
（2）請你判斷△ABC的形狀并說明理由；
（3）若點P為x軸上的一個動點，過點P作PH⊥x軸與拋物線交于點H，則是否存在以O，P，H為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得A點坐標，再由A、O、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式，再聯立兩函數解析式可求得B點坐標；
（2）由A、B、C三點的坐標可求得AB、AC和BC的長，再利用勾股定理的逆定理可判斷其形狀；
（3）設P點坐標為（x，0），則可表示出H點的坐標，從而可表示出PH和OP的長，再利用相似三角形的性質可得到關于x的方程，可求得x的值，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）在y=-x+2中，令y=0可求得x=2，
∴A（2，0），
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線的頂點C的坐標為（1，-1），且過原點和A點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{a+b+c=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x，
聯立兩函數解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴B點坐標為（-1，3）；

（2）△ABC為直角三角形，理由如下：
∵A（2，0），B（-1，3），C（1，-1），
∴AB=$\sqrt{（2+1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（2-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{（1+1）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB²+AC²=18+2=20=BC²，
∴△ABC為直角三角形；

（3）設P（x，0），則H（x，x²-2x），如圖，

則OP=|x|，PH=|x²-2x|，
∵∠OPH=∠CAB=90°，
∴當△OPH和△ABC相似時，有△OPH∽△BAC或△OPH∽△CAB兩種情況，
當△OPH∽△BAC時，則有$\frac{OP}{AB}$=$\frac{PH}{AC}$，即$\frac{|x|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|{x}^{2}-2x|}{\sqrt{2}}$，解得x=0或x=$\frac{7}{3}$或x=$\frac{5}{3}$，
當x=0時，O、P重合，舍去，
∴P點坐標為（$\frac{7}{3}$，0）或（$\frac{5}{3}$，0），
當△OPH∽△CAB時，則有$\frac{OP}{AC}$=$\frac{PH}{AB}$，即$\frac{|x|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|{x}^{2}-2x|}{3\sqrt{2}}$，解得x=0或x=5或x=-1，
當x=5時，x²-2x=15，當x=-1時，x²-2x=3，
∴P點坐標為（5，0）或（-1，0），
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（$\frac{7}{3}$，0）或（$\frac{5}{3}$，0）或（5，0）或（-1，0）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中求得AB、AC和BC的長是解題的關鍵，在（3）中用P點坐標表示出PH和OP的長，利用相似三角形的性質得到關于坐標的方程是解題的關鍵，注意分情況討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．