Question

19．有兩張完全重合的直角三角形紙片OAB，AB=8，∠BAO=30°，將它們放置在平面直角坐標系中，以點O旋轉中心，把Rt△OAB順時針旋轉90°，得Rt△OCD．

（1）如圖①，點C的坐標為（4$\sqrt{3}$，0），點D的坐標為（4，0）；
（2）如圖②，以點O為旋轉中心，把Rt△OAB順時針旋轉．得Rt△OA₁B₁，OA₁交邊CD于點K，設旋轉角為α（0°＜α＜90°）．當△OCK為等腰三角形時，求旋轉角α的度數；
（3）如圖③，將Rt△OCD沿x軸向左平移，得Rt△O₂C₂D₂，C₂D₂與OA交于點P，O₂D₂與AB交于點N，當NP∥OB時，求平移的距離及點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據含30度角的直角三角形的性質求出OA，OB，再由旋轉的性質得出OC，OD即可；
（2）分兩種情況利用等腰三角形的性質即可得出結論；
（3）設出OO₂，用勾股定理依次OC₂=4$\sqrt{3}$-x，AP=4$\sqrt{3}$-4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．再用△ANP∽△ABO得出的比例式建立方程即可求出x，即可得出結論．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，∠BAO=30°，AB=8，
∴OB=4，OA=4$\sqrt{3}$，
由旋轉知，OC=OA=4$\sqrt{3}$，OD=OB=4
C（4$\sqrt{3}$，0），D（0，4），
故答案為（4$\sqrt{3}$，0），（0，4）；

（2）當KO=KC時，
∠KOC=∠KCO=30°
∵∠A₁OB₁=90°
∴a=60°
．當CO=CK時，∠KOC=∠OKC=$\frac{180°-∠KCO}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75° 
∵∠A₁OB₁=90°
∴a=30°
∴旋轉角為60或15°．

（3）∵D₂O₂∥DO，NP∥OB，
∴四邊形NO₂OP是平行四邊形．
∵∠AOB=90°，
∴四邊形NO₂OP是矩形．
設OO₂=x，則NP=x，
在Rt△O₂C₂D₂中，
∵C₂D₂=CD=AB=8，∠D₂C₂O=∠DCO=30°，
∴O₂D₂=$\frac{1}{2}$C₂D₂=4，O₂C₂=4$\sqrt{3}$．
∴OC₂=O₂C₂-O₂O=4$\sqrt{3}$-x 
在Rt△POC₂中，
∠POC₂=90°，∠PC₂O=30°，
∴OP=OC₂•tan30°=（4$\sqrt{3}$-x）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴AP=AO-OP=4$\sqrt{3}$-4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵NP∥OB，
∴△ANP∽△ABO，
∴$\frac{NP}{BO}=\frac{AP}{AO}$．
∴$\frac{x}{4}=\frac{4\sqrt{3}-4+\frac{\sqrt{3}}{3}}{4\sqrt{3}}$
．解得x=6-2$\sqrt{3}$．
即O₂O=6-2$\sqrt{3}$ 
∴平移的距離是6-2$\sqrt{3}$ 
NO₂=OP=4-$\frac{\sqrt{3}}{3}×（6-2\sqrt{3}）$=6-2$\sqrt{3}$
∴點N的坐標是（2$\sqrt{3}$-6，6-2$\sqrt{3}$）．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形的性質，旋轉的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質，平移的性質，解本題的關鍵是利用勾股定理表示出OC₂=4$\sqrt{3}$-x，AP=4$\sqrt{3}$-4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．