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4.△ABC是等邊三角形,點D是射線BC上一點(不與點B,C重合).連接AD,以AD為一邊.作等邊三角形ADE,使點B,E位于直線AD的兩側.連接CE.
(1)如圖1,若點D在邊BC上.則AB.CE的位置關系是AB∥CE,線段BD,CE的數量關系是BD=CE;
(2)如圖2,若點D在BC的延長線上,則(1)中的兩個結論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由
(3)若AB=6,CD=2,請直接寫出線段DE的長
(4)若四邊形ABDE的面積是△ABC面積的$\frac{13}{4}$倍,請直接寫出tan∠ADB的值.

分析 (1)結論:AB∥CE,BD=CE.只要證明△BAD≌△CAE即可.
(2)若點D在BC的延長線上,則(1)中的兩個結論成立.證明方法類似.
(3)分兩種情形討論,如圖3中,作AF⊥BC于F.如圖3中,作AF⊥BC于F,在Rt△ADF中,根據DE=AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$計算即可.
(4)由題意四邊形ABDE的面積是△ABC面積的$\frac{13}{4}$倍,點D只有在BD的延長線上時,如圖3右圖中,設BC=2a,CD=ka,則AF=$\sqrt{3}$a,AD=$\sqrt{3{a}^{2}+(a+ka)^{2}}$,可得S四邊形ABDE=S△ABD+S△AED=$\frac{1}{2}$•(2a+Ka)•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a2+(a+ka)2],S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•(2a)2=$\sqrt{3}$a2,由題意$\frac{1}{2}$•(2a+Ka)•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a2+(a+ka)2]=$\frac{13}{4}$•$\sqrt{3}$a2
整理得k2+4k-5=0,解得k=1,由此即可解決問題.

解答 解:(1)如圖1中,

∵△ABC,△ADE都是等邊三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠BAC=∠B=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ACE=∠B=60°,
∴∠BAC=∠ACE,
∴AB∥CE,
故答案為AB∥CE,BD=CE.

(2)若點D在BC的延長線上,則(1)中的兩個結論成立.
理由:如圖2中,

∵△ABC,△ADE都是等邊三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠BAC=∠B=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ACE=∠B=60°,
∴∠BAC=∠ACE,
∴AB∥CE,

(3)如圖3中,作AF⊥BC于F.

①當點D在線段BC上時,在Rt△ADF中,易知AD=3$\sqrt{3}$,DF=1,DE=AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{7}$.
②當點D在線段BC的延長線上時,在Rt△ADF中,易知AD=3$\sqrt{3}$,DF=5,如圖3中,作AF⊥BC于F.
$\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{13}$.

(4)由題意四邊形ABDE的面積是△ABC面積的$\frac{13}{4}$倍,點D只有在BD的延長線上時,如圖3右圖中,設BC=2a,CD=ka,則AF=$\sqrt{3}$a,AD=$\sqrt{3{a}^{2}+(a+ka)^{2}}$,
∴S四邊形ABDE=S△ABD+S△AED=$\frac{1}{2}$•(2a+Ka)•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a2+(a+ka)2],
∵S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•(2a)2=$\sqrt{3}$a2
由題意$\frac{1}{2}$•(2a+Ka)•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a2+(a+ka)2]=$\frac{13}{4}$•$\sqrt{3}$a2
整理得k2+4k-5=0,解得k=1,k=-5(舍),
∴tan∠ADB=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

點評 本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、一元二次方程等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會用分類討論的思想思考問題,屬于中考壓軸題.

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