Question

9．如圖，?ADEF兩邊AD、AF向外作等邊△ADB、△AFC，連接EB、EC、BC．
（1）求證：△BDE≌△EFC；
（2）猜想：△EBC是等邊三角形三角形，并對你的猜想加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據SAS即可證明．
（2）由DE∥AF，推出∠6+∠4+∠1+∠8=180°，在△BDE中，根據內角和定理可知：∠5+∠3+∠2+∠8=180°，只要證明∠6=∠5，∠4=∠3，即可推出∠1=∠2=60°，由此即可證明．

解答 （1）證明：∵△ADB、△AFC都是等邊三角形，
∴BD=AD，∠2=∠7=60°，CF=AF，
∵四邊形DEFA是平行四邊形，
∴AD=EF，AF=DE，∠5=∠6，
∴∠2+∠5=∠6+∠7，即∠BDE=∠EFC，
∴BD=EF，DE=FC，
在△EDB和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=CF}\\{∠EDB=∠EFC}\\{DB=FE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△EFC．

（2）解：∵△BDE≌△EFC，
∴BE=EC，∠3=∠4，
∵DE∥AF，
∴∠6+∠4+∠1+∠8=180°，
在△BDE中，根據內角和定理可知：∠5+∠3+∠2+∠8=180°，
∵∠6=∠5，∠4=∠3，
∴∠1=∠2=60°，∵BE=EC，
∴△EBC是等邊三角形．

點評 本題考查平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，屬于中考常考題型．