Question

20．在平面直角坐標系xOy中，已知點A在x軸正半軸上，OA=8，點E在坐標平面內，且AE=12，∠EAO=60°
（1）求點E的坐標以及過點O，A，E三點的拋物線表達式；
（2）點F（t，0）在x軸上運動，直線FC與直線AE關于某條垂直于x軸的直線對稱，且相交于點G，設△GEF的面積為S，當0≤t≤8時，請寫出S關于t的函數表達式并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）分為點E在x軸的上方和下方兩種情況求得點E的坐標，設出拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將點A、E、O的坐標代入拋物線的解析式求解即可；
（2）當點E在x軸的上方時，可求得AE的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$．設直線CF的解析式為y=$\sqrt{3}$x+b，將點F的坐標代入可求得b的值，得到CF的解析式，然后再求得點G的坐標，依據△FEG的面積=△FFA的面積-△GFA的面積可得到△FEG的面積與t的關系式，當點E′在x軸下方時△E′FC的面積=△EFC的面積，故此可得到S與t的關系式，然后利用配方法可求得S的最大值．

解答 解：（1）如圖1所示：當點E在x軸上方時，過點E作EB⊥x軸，垂足為B．

∵∠OAE=60°，AE=12，
∴BA=6，BE=6$\sqrt{3}$．
∴點E的坐標為（2，6$\sqrt{3}$）．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c+c=0，將點A和點E的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b+c=0}\\{c=0}\\{4a+2b+c=6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=4$\sqrt{3}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+4$\sqrt{3}$x．
當點E位于x軸的下方時，點E的坐標與（2，6$\sqrt{3}$）關于x軸對稱，
∴點E的坐標為（2，-6$\sqrt{3}$）．
此時拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-4$\sqrt{3}$x．
綜上所述點E的坐標為（2，6$\sqrt{3}$）或（2，-6$\sqrt{3}$），拋物線的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+4$\sqrt{3}$x或y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-4$\sqrt{3}$x．
（2）當點E在x軸的上方時，如圖2所示：

設直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6\sqrt{3}}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\sqrt{3}$，b=8$\sqrt{3}$．
∴直線AE的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$．
∵直線CF與直線AE關于垂直于x軸的直線對稱，
∴設直線CF的解析式為y=$\sqrt{3}$x+b，將點F的坐標代入得：$\sqrt{3}$t+b=0，解得：b=$-\sqrt{3}$t．
∴直線CF的解析式為y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$t．
將y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$t與y=-$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$聯立，解得：x=$\frac{1}{2}$t+4，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+4$\sqrt{3}$．
∴G（$\frac{1}{2}$t+4，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+4$\sqrt{3}$）．
∴△FEG的面積=△FFA的面積-△GFA的面積=$\frac{1}{2}$（8-t）×6$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（8-t）×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+4$\sqrt{3}$）=$\frac{1}{2}$×（8-t）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+2$\sqrt{3}$）．
整理得：△FEG的面積=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$+16$\sqrt{3}$．
當點E′位于x軸下方時，△E′FC與△EFC關于x軸對稱，三角形E′FC的面積=△EFC的面積．
∴S=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$+16$\sqrt{3}$．
配方得：S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2）²+18$\sqrt{3}$．
∴t=2時，S有最大值，最大值為18$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，特殊銳角三角函數的應用，軸對稱的性質，依據△FEG的面積=△FFA的面積-△GFA的面積，列出S與t的函數關系式是解題的關鍵．