Question

11．如圖，在直角梯形AOBC中，AC平行于OB，且OB=6，AC=5，OA=4，
（1）求出經過B、C兩點的直線的解析式：
（2）在邊AC和BC（含端點）上分別找到點M和點N，使得△MON的面積最大，并說明理由．
（3）在（2）成立的條件下，是否存在M和N，同時滿足△MON的周長還是短？若存在，請求出周長的最小值，并求出此時點M、N的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由OB=6，點B在x軸，得到B點的坐標，根據AC∥OB，AC=5，得到點C的坐標，再用待定系數法即可得出結論；
（2）過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，因為QN取得最大值是QN=OB時，△MON的面積最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB，
（3）設O關于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，此時△OMN面積最大，周長最小．

解答 解：（1）∵OB=6，OA=4，
∴B（6，0），
∵AC∥OB，AC=5，
∴C（5，4），
設直線BC解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=24}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-4x+24；

（2）如圖，

過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，
則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴當點N與點B重合，QN取得最大值OB時，△MON的面積最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB（點M在線段AC上任意一點），

（3）如圖1，

由（2）知，點N和B重合，即：N（6，0），
設O關于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，
此時△MON的面積最大，周長最短，
∵AM∥BO
∴$\frac{AD}{OD}=\frac{AM}{OB}$，即$\frac{4}{8}=\frac{AM}{6}$，
∴AM=3，
∴M（3，4）．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了直角梯形的性質，待定系數法，坐標和圖形的性質，軸對稱的性質等，作出輔助線是本題的關鍵．