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11.如圖,在直角梯形AOBC中,AC平行于OB,且OB=6,AC=5,OA=4,
(1)求出經過B、C兩點的直線的解析式:
(2)在邊AC和BC(含端點)上分別找到點M和點N,使得△MON的面積最大,并說明理由.
(3)在(2)成立的條件下,是否存在M和N,同時滿足△MON的周長還是短?若存在,請求出周長的最小值,并求出此時點M、N的坐標:若不存在,請說明理由.

分析 (1)由OB=6,點B在x軸,得到B點的坐標,根據AC∥OB,AC=5,得到點C的坐標,再用待定系數法即可得出結論;
(2)過點M作MP∥OA,交ON于點P,過點N作NQ∥OB,分別交OA、MP于兩點Q、G,則S△MON=S△OMP+S△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN,因為QN取得最大值是QN=OB時,△MON的面積最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB,
(3)設O關于AC的對稱點D,連接DB,交AC于M,此時△OMN面積最大,周長最小.

解答 解:(1)∵OB=6,OA=4,
∴B(6,0),
∵AC∥OB,AC=5,
∴C(5,4),
設直線BC解析式為y=kx+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=24}\end{array}\right.$,
∴直線BC解析式為y=-4x+24;

(2)如圖,

過點M作MP∥OA,交ON于點P,過點N作NQ∥OB,分別交OA、MP于兩點Q、G,
則S△MON=S△OMP+S△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN,
∵MP≤OA,QN≤OB,
∴當點N與點B重合,QN取得最大值OB時,△MON的面積最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB(點M在線段AC上任意一點),

(3)如圖1,

由(2)知,點N和B重合,即:N(6,0),
設O關于AC的對稱點D,連接DB,交AC于M,
此時△MON的面積最大,周長最短,
∵AM∥BO
∴$\frac{AD}{OD}=\frac{AM}{OB}$,即$\frac{4}{8}=\frac{AM}{6}$,
∴AM=3,
∴M(3,4).

點評 此題是四邊形綜合題,主要考查了直角梯形的性質,待定系數法,坐標和圖形的性質,軸對稱的性質等,作出輔助線是本題的關鍵.

練習冊系列答案
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