Question

16．△ABC中，AB=AC，O、I分別是其外心、內(nèi)心，點(diǎn)D在AC上，且DI∥AB，DO的延長(zhǎng)線交CI的延長(zhǎng)線于M．求證：DM⊥CM．

Answer 1

分析 先用平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得出∠AID=∠CAM，進(jìn)而得出點(diǎn)O，I，C，D四點(diǎn)共圓，再用直角三角形的兩銳角互余即可得出結(jié)論．

解答 證明：

∵O是△ABC的外心，AB=AC，
∴AM⊥BC，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵DI∥AB，
∴∠IDC=∠BAC=2∠CAM，
∵∠IDC=∠CAM+∠ADO（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和），
∴∠AID=∠CAM，
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠CAM，
∴∠AID=∠ACO，
∴點(diǎn)O，I，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ODI=∠OCI，
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ACI=∠ICM，
∵OA=OC，
∴∠COM=2∠CAM，
在Rt△COM中，∠COM+∠OCM=90°，
∴∠ODC+∠ACI
=∠ODI+∠IDC+∠ACI
=∠OCI+2∠CAM+∠ACM
=∠COM+∠OCM
=90°，
∴∠CMD=90°，
∴DM⊥CM．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形五心，主要考查了三角形內(nèi)心與外心的性質(zhì)、圓周角定理、四點(diǎn)共圓的判定方法和等腰三角形的性質(zhì)；判斷點(diǎn)O，I，C，D四點(diǎn)共圓是解本題的關(guān)鍵．