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6.如圖,△ABC中,∠A=60°,以BC為邊往外作等邊△BCD,作∠B,∠C的角平分線分別交AC,AB于點F,E,若BE,CF交于點I,連接ID交BC于點P,求證:△EFP為等邊三角形.

分析 先根據角平分線和∠A=60°得:∠IBC+∠ICB=60°,證明I、B、D、C四點共圓,則∠BID=∠BCD=60°,∠DIC=∠DBC=60°,再證明△BEI≌△BPI,則EI=PI,同理可得:PI=FI,根據等邊對等角可得:∠EPF=∠PFE=∠FEP=60°,所以△EFP是等邊三角形.

解答 證明:∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°,
∵∠B,∠C的角平分線分別交AC,AB于點F,E,
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×120°=60°,
∴∠BIC=180°-60°=120°,∠EIB=60°,
∵△BCD是等邊三角形,
∴∠BDC=60°,
∴∠BIC+∠BDC=120°+60°=180°,
∴I、B、D、C四點共圓,
∴∠BID=∠BCD=60°,
∠DIC=∠DBC=60°,
在△BEI和△BPI中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBI=∠IBC}\\{BI=BI}\\{∠EIB=∠BIP=60°}\end{array}\right.$,
∴△BEI≌△BPI(ASA),
∴EI=PI,
同理可得:PI=FI,
∵∠EIF=120°,EI=FI,
∴∠IEF=∠IFE=30°,
同理得:∠IEP=∠IPE=30°,
∠IFP=∠IPF=30°,
∴∠EPF=∠PFE=∠FEP=60°,
∴△EFP是等邊三角形.

點評 本題考查了四點共圓的判定和性質、三角形全等的性質和判定、等邊三角形的性質和判定,熟練掌握四點共圓的判定是本題的關鍵,此題有難度.

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