Question

6．如圖，△ABC中，∠A=60°，以BC為邊往外作等邊△BCD，作∠B，∠C的角平分線分別交AC，AB于點F，E，若BE，CF交于點I，連接ID交BC于點P，求證：△EFP為等邊三角形．

Answer 1

分析 先根據角平分線和∠A=60°得：∠IBC+∠ICB=60°，證明I、B、D、C四點共圓，則∠BID=∠BCD=60°，∠DIC=∠DBC=60°，再證明△BEI≌△BPI，則EI=PI，同理可得：PI=FI，根據等邊對等角可得：∠EPF=∠PFE=∠FEP=60°，所以△EFP是等邊三角形．

解答 證明：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠B，∠C的角平分線分別交AC，AB于點F，E，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BIC=180°-60°=120°，∠EIB=60°，
∵△BCD是等邊三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠BIC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴I、B、D、C四點共圓，
∴∠BID=∠BCD=60°，
∠DIC=∠DBC=60°，
在△BEI和△BPI中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBI=∠IBC}\\{BI=BI}\\{∠EIB=∠BIP=60°}\end{array}\right.$，
∴△BEI≌△BPI（ASA），
∴EI=PI，
同理可得：PI=FI，
∵∠EIF=120°，EI=FI，
∴∠IEF=∠IFE=30°，
同理得：∠IEP=∠IPE=30°，
∠IFP=∠IPF=30°，
∴∠EPF=∠PFE=∠FEP=60°，
∴△EFP是等邊三角形．

點評 本題考查了四點共圓的判定和性質、三角形全等的性質和判定、等邊三角形的性質和判定，熟練掌握四點共圓的判定是本題的關鍵，此題有難度．